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le rayon du grand cercle est a.
On en déduit que le coté du carré est [blank]




[blank]or x est aussi le coté du triangle équilatéral.
De plus le cercle inscrit dans le triangle équilatéral est l'intersection des bissectrices qui sont aussi médiatrice et médiane donc

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FG=
  =

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1/(6cos²15)

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le rapport entre les deux surfaces est de 18%

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Soit R le rayon du grand cercle et r celui du petit
Calcul du coté du carré c: c²=R²+R²
d'ou c=R2
On sait de part les propriètés des droites remarquables ds un triangle qu'on a c/2= 5/3 r
D'où r= (3R2)/10
Si on calcul la surface du petit cercle on obtient:
0.18*R²

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Une histoire de symétrie... mais de quoi ?

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r = (V3 /2)*(V2 R)/3
R/r = V6
R²/r² = 6

Les aires des cercles sont dans un rapport de 1 à 6

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on le droit dire que 16 et 18% c'est pas très éloigné ?
non arf j'le savais  

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Je trouve que le rapport des aires des deux cercles est 3(1 + racine(3)/2) = 5,598076212...
Le plus grand triangle équilatéral inscrit dans le carré a en effet un côté égal à rac(6) - rac(2) fois le côté du carré, c'est-à-dire environ 1,035276180 fois le côté du carré. Un de ses sommets est confondu avec le sommet du carré, les deux autres sont sur les côtés opposés.

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le plus grand triangle équilatéral inscriptible dans le carré a un sommet commun avec un carré, d'où partent les côtés de deux figures faiaant entre eux un angle de 15°
un autre triangle plus grand partant du sommet du carré est impossible, le côté du triangle qu'on aurait rapproché de son voisin côté du carré franchirait un autre côté du carré
soit dans un carré abcd, un triangle équilatéral lmn tel que l soit sur [ab], m sur [cd] et n sur [ad]; [lh] est la perpendiculaire du [cd]
si lm est plus grand que le côté du triangle équilatéral trouvé, angle hlm > 15°; angle hln < 45°; angle aln > 45°; angle angle anl < 45°; angle ndm > 75°; angle nmd < 15° ce qui entraîne nm trop petit
si n ou m n'est pas sur le périmètre du carré, le raisonnement des angles est le même, avec les parallèles menées de m et de n aux côtés du carré
si m est entre d et h, la réfutation est encore plus rapide : les angles mlh et aln devant et ne pouvant être simultanément supérieurs à 15°
calcul du côté du triangle
dans le côté [ad] du carré abcd de côté 2, soit e son milieu de [ad] et i tel que bi soit le côté du triangle solution; l'angle abe = 30° et [bi] est sa bissectrice
ab/(ab+be) = ai/ae; ai = 2/(2+V5); bi = V(4 + 4/(9+4V5))
le rayon du cercle circonscrit au carré est V2
le rayon du cercle inscrit dans le triangle est V(4 + 4/(9+4V5)) * V3 / 6
le rapport des aires est 24 / (4 + 4/(9+4V5)) = 5,683

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bon allez j'y vais quand meme:
(gc=grand cercle)
Agc = pi*a²

Apc=pi*x²
   =pi* a²/24

donc Agc/Apc = 24.

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--> je constate juste qu'il y a une symétrie avec les lettres par rapport à A
On doit peut etre s'aider des symétries pour résoudre le problème ?...

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Six Axis c'est la manette de la PS3 et il y a un carré, un triangle et un cercle dessus

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je viens de m'apercevoir de mon erreur; si l'angle abe est 30°, e n'est pas le milieu de ad !
dans le côté ad du carré abcd soient e et i tel que angle abe = 30° et angle abi = 15°
si ab² = 3; be² = 4; ae² = 1
be²/ab² = (1-ai)²/ai² = 4/3
4ai² = 3ai²-6ai+3
ai²+6ai-3 = 0; ai = -3+V(9+3)
ai² = 21-6V12
bi² = 24-6V12
bi²/ab² = 8-2V12
bi/ab = V(8-2V12)
diamètre du côté circonscrit au carré : V2 ab
diamètre du cerle inscrit dans le triangle : [V(8-2V12)*V3/3] ab
rapport des aires : 6/(8-2V12) = 5,598

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Je corrige ma réponse précédente.

r.cos(15°) = (V3 /2)*(V2 R)/3
R/r = V6 .cos(15°)
R²/r² = 6.cos²(15°)
R²/r² = 3(1 + (1/2).(V3))

Les aires des cercles sont dans un rapport de 1 à 3(1 + (1/2).(V3))