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exprimée les coordonnées

Posté par
sinseya 22-08-20 à 12:05

bonjour,
j'ai besoin de votre aide sur une partie de l'énoncé merci.

Dans un repère orthonormé (O; i vecteur ; j vecteur) d'unité 1cm, soient les points
A(-1 ;1) ; B(2 ; 3/2) ; C( 1/2; 7/2)et D(1 ; -5/3 ).
1°) Calculer les coordonnées de vecteurs AB, CD, AD et CB.
2°) En déduire que les droites (AB) et (CD) sont sécantes et que les droites (AD) et (CB) sont parallèles.
3°) Soit I le point d'intersection des droites (CD) et (AB) et k le réel tel que : CI = kCD
a) Exprimer les coordonnées de I en fonction de k.
b) Exprimer les coordonnées de AI en fonction de k.
c) En utilisant le fait que les vecteurs AI et AB sont colinéaires, calculer le réel k.
d) En déduire les coordonnées de I.

pour le 1) et 2) aucun soucis
pour le 3) je bloque, je vous mets ce que j'ai commencé pour le 3)a)
(CI ) = k(CD)
On sait que (CD) (1/2;-31/6)
Donc (CI ) (xI-xC ; yI-yC) soit ( xI - 1/2 ; yI - (-31/6))
comment je procède pour la suite?

Posté par
heklare : exprimée les coordonnées 22-08-20 à 12:25

Bonjour

vous écrivez l'égalité \vec{CI}=k\vec{CD}

\vec{u}\quad \dbinom{x}{y}\qquad \vec{u'}\quad \dbinom{x'}{y'} \qquad \vec{u} =  \vec{u'} \quad \begin{cases} x=x'\\y=y'\end{cases} \\

Posté par
sinseyare : exprimée les coordonnées 22-08-20 à 12:57

sauf que je n'ai pas les coordonnées de (CI )
sur mon repère, il est dessiné mais pas à l'écrit et je pense qu' il faut d'abord que je trouve ces coordonnées pour déterminer k si je ne me trompe pas

Posté par
heklare : exprimée les coordonnées 22-08-20 à 13:04

Vous avez écrit \vec{CI}\quad \dbinom{x_I-x_C}{y_I-y_C}

En remplaçant x_C et y_C par leur valeur  vous avez bien les coordonnées de \vec{CI}

Vous aurez ensuite à résoudre deux équations l'une en x_I l'autre en y_I

Posté par
heklare : exprimée les coordonnées 22-08-20 à 13:07

En relisant vous l'avez déjà fait  (enfin presque)

\vec{CI}\quad \dbinom{x_I-\frac{1}{2}}{y_I-\frac{7}{2}}

k\vec{CD}  ?

Posté par
sinseyare : exprimée les coordonnées 23-08-20 à 14:40

alors, j'avais effectivement fais une erreur
je reprends
(CI ) ( xI - 1/2 ; yI - 7/2) et kCD c'est k(1/2;-31/6)
comment résoudre I?

Posté par
heklare : exprimée les coordonnées 23-08-20 à 15:01

on continue k\vec{CD}

   k\dbinom{1-\frac{1}{2}}{\frac{-5}{3}-\frac{7}{2}} =\dbinom{\frac{k}{2}}{\frac{-31k}{6}}

cf hier 12:25

\begin{cases}  x_I-\frac{1}{2} =\frac{k}{2}      \\y_I-\frac{7}{2}=\frac{-31k}{6}\end{cases}

reste à écrire   x_I= \quad y_I=

Posté par
sinseyare : exprimée les coordonnées 23-08-20 à 15:17

ok juste précision le - de -5/3 c'est la fraction complète, le - est placée devant la barre

j'avais bien déduis sur le x - 1/2 et y - 7/2
désolé, j'arrive pas écrire comme vous pour mieux montrer

sinon pour k (-8/3) avec le - devant la barre de fraction, je fais le reste

Posté par
sinseyare : exprimée les coordonnées 23-08-20 à 15:19

juste une précision de votre part si possible, pourquoi mettre k à côté de - 36 et pas dans son ensemble?

Posté par
sinseyare : exprimée les coordonnées 23-08-20 à 15:30

et pour x - (1/2)=-4/3
et pour y - (7/2)= -85/18
le - placée toujours devant la barre dans les 2 cas
c'est la suite que j'ai du mal, si j'ai bien compris pour que x devient seul, il faut que je bascule mon 1/2 de l'autre côté?

Posté par
heklare : exprimée les coordonnées 23-08-20 à 15:32

-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}

On écrit comme on veut  ou comme cela permet de mieux voir  

le signe - devant la fraction   a  souvent tendance à être oublié  donc on prend la deuxième forme

On n'aime pas trop le signe -  au dénominateur


x_I=\dfrac{k}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{k+1}{2}

y_I=\dfrac{-31 k}{6}+\dfrac{7}{2}=\dfrac{-31k+21}{6}

Où -36 ?

Posté par
heklare : exprimée les coordonnées 23-08-20 à 15:34

D'où proviennent  -\dfrac{4}{3}  et  -\dfrac{85}{18} ?

Posté par
sinseyare : exprimée les coordonnées 23-08-20 à 15:44

pardon c'est -31k que je voulais écrire

-4/3 est mon résulta de la fraction à étage de -8/3/2
et -85/8 c'est le résultat de -31k/6 k=-8/3 si j'ai bien trouvé k et si c'est bien ce qu'il fallait faire

Posté par
heklare : exprimée les coordonnées 23-08-20 à 16:08

Reprenons car je ne vois pas d'où viennent vos valeurs

\vec{CI}=k\vec{CD}

\begin{cases}x_I-\dfrac{1}{2}=\dfrac{k}{2}\\[0.5cm]y_I-\dfrac{7}{2}=\dfrac{-31k}{6}\end{cases}

\begin{cases}x_I=\dfrac{k}{2}+\dfrac{1}{2}\\[0.5cm]y_I=\dfrac{-31k}{6} +\dfrac{7}{2} \end{cases}

\begin{cases}x_I=\dfrac{k+1}{2}\\[0.5cm]y_I=\dfrac{-31k+21}{6}\end{cases}



\vec{AI}\quad \begin{pmatrix}\dfrac{k+1}{2}+1\\\dfrac{-31k+21}{6}-1\end{pmatrix}


\vec{AI}\quad \begin{pmatrix}\dfrac{k+3}{2}\\\dfrac{-31k+15}{6}\end{pmatrix}

\vec{AB}\quad \dbinom{3}{\frac{1}{2}}


Condition de colinéarité pour déterminer k

Posté par
sinseyare : exprimée les coordonnées 23-08-20 à 16:19

pour k j'ai fais une erreur j'ai pas employé la bonne méthode méthode
j'ai utilisé dét
j'ai refais et je trouve
k (1/2   -31/6)
sauf que je ne comprend pas la méthode que vous prenez xi et yi

Posté par
heklare : exprimée les coordonnées 23-08-20 à 16:31

Citation :
Soit I le point d'intersection des droites (CD) et (AB) et k le réel tel que : \vec{CI} = k\vec{CD}


On pose I(x_I~;~y_I) on écrit les composantes vectorielles des deux vecteurs  puis l'égalité vectorielle et on en déduit les coordonnées de I en fonction de k


\vec{CI} 13 :07   k\vec{CD} 15 : 01 coordonnées de I 16 :08

Ensuite  
Citation :
b) Exprimer les coordonnées de \vec{AI} en fonction de k.


C'est ce que j'ai fait

Puis
Citation :
c) En utilisant le fait que les vecteurs \vec{AI} et \vec{AB} sont colinéaires, calculer le réel  k.


C'est pour cela que j'ai écrit les coordonnées du vecteur \vec{AB}

Je n'ai fait que suivre les questions posées

Posté par
sinseyare : exprimée les coordonnées 23-08-20 à 16:53

sauf que je ne comprends toujours pas, sans vouloir vous vexer.
ou mon cerveau veut pas ou c'est autre chose,

j'ai revérifié dans mon cours ce que j'ai pu louper, j'ai seulement employé la colinéarité si les points étaient alignées et/ou parallèles, par pour des coordonnées à trouver.

le point i aurait été au milieu je l'aurai démontré par le segment de la droite mais j'ai pas vu autre chose, donc encore une fois je suis fatiguée de ne rien comprendre dès que je tombe sur un exercice ou j'ai pas vu certaines choses

je vais faire une pause car je ne peux pas tout bêtement recopier sur mon devoir votre travail sans rien comprendre

Posté par
heklare : exprimée les coordonnées 23-08-20 à 17:17

Le but de la question 3 est bien d'utiliser la colinéarité des vecteurs

On aurait pu écrire les équations des droites (CD) et (AB)  et déterminer les coordonnées de I en résolvant un système.

Le choix a été un peu différent  

On dit d'abord que les points I, C et D sont alignés  on écrit donc une condition de l'alignement  et utilisant

l'existence d'un réel k  tel que \vec{CI}=k\vec{CD}

On a bien ainsi exprimé la colinéarité des vecteurs donc l'alignement des points.  Ne connaissant pas explicitement les coordonnées de I on les appelle x_I et y_I

Ceci va donner les coordonnées de I pour que les trois points soient alignés, mais cela va pas encore expliciter I

  juste une condition pour que C D I soient alignés

Maintenant  on sait aussi que les points A B et I  sont alignés

En écrivant cette fois la colinéarité par xy'-x'y=0  on va pouvoir trouver la valeur de k pour que cette relation soit vraie.


Ayant la valeur de k on en déduira les coordonnées de I


Si vous savez que les points sont alignés la relation de colinéarité est vraie  mais on n'a pas obligatoirement les coordonnées des 3 points

Connaissant les coordonnées de A et de  B   on pourra trouver une relation entre l'abscisse et l'ordonnée d'un point M pour qu'icelui appartienne à (AB)  C'est ainsi que l'on peut écrire l'équation d'une droite

Posté par
sinseyare : exprimée les coordonnées 24-08-20 à 12:39

bonjour,
j'ai commencé a comprendre en partie
j'ai donc réessayé entre vous et mes cours, je place pas mon k comme vous???  j'espère que ma pièce jointe sera accepté pour une meilleur compréhension

Posté par
heklare : exprimée les coordonnées 24-08-20 à 12:54

Les copies de brouillon ne sont pas acceptées sur le forum

À l'aide de parenthèses vous devez pouvoir  en écrire  un  les autres étant identiques sans doute

ex ( -31/6)k pour -\dfrac{31}{6} k

Vous pouvez aussi utiliser  l'aide en Latex LTX avec des  bouts rouges  au-dessus de Poster

Posté par
sinseyare : exprimée les coordonnées 24-08-20 à 12:57

ci {x- 1/2= k 1/2         soit x= 1/2 + k 1/2
     {y - 7/2 = k - 31/6   soit y = 7/2 + k - 31/6

d'où I (1/2 + k 1/2  ; 7/2 + k -31/6)

est-ce que j'ai également juste si j'écris ceci
I= (1/2 ; 7/2) + k(1/2  ; -31/6)
  

Posté par
sinseyare : exprimée les coordonnées 24-08-20 à 12:59

j'ai essayé latex mais ça ne donnait pas du tout le résultat que je voulais, je vais pas perturber mon cerveau davantage dans l'immédiat juste que ce soit plus sympa à lire pour vous

Posté par
heklare : exprimée les coordonnées 24-08-20 à 13:11

x_i=1/2+k(1/2)  s'écrit  aussi 1/2+k/2  et en effectuant  (1+k)/2

y_I=7/2+k(-31/6) les parenthèses sont indispensables sinon on voit une soustraction

y_I=7/2-31k/6 on multiplie la fraction par k

on réduit 21/6-31k/6=(21-31k)/6

on a donc bien le même résultat

  oui mais comme on veut des coordonnées il est préférable  de l'écrire sur deux lignes

x_I=\dfrac{k+1}{2}

y_I=\dfrac{-31k+21}{6}

Posté par
sinseyare : exprimée les coordonnées 24-08-20 à 13:26

excusez-moi j'ai préféré reprendre depuis le début
j'ai bien compris que k multipliais pour retrouver l'égalité de l'autre vecteur, et une fois qu'on a basculé tous les chiffres de l'autre côté du x et y, on réduit.

en revanche, là ou j'ai du mal à vous suivre c'est sur la suite de x et y, en écrivant mon k, là ou il est placé, je ne peux pas  réduire, vous en le plaçant autrement, vous réduisez,  et j'arrive pas à trouver votre 21???

dans mes cours mon k est toujours placé devant, il est pas intégré comme vous le faites, c'est là que j'ai du mal à vous comprendre

Posté par
heklare : exprimée les coordonnées 24-08-20 à 13:46

Maintenant on considère  les points  A I et B alignés

on écrit les coordonnées de \vec{AB} et \vec{AI}   pour utiliser cette fois  la relation de colinéarité.  On ne peut utiliser l'autre cela ferait une inconnue supplémentaire

\vec{AI} \quad \begin{pmatrix}\dfrac{k+1}{2}-(-1)\\[0.3cm] \dfrac{-31k+21}{6}-1\end{pmatrix}

à simplifier  puis \vec{AB}    et condition de colinéarité

7/2+k(-31/6)

dénominateur commun 6  

\dfrac{(7\times 3)}{2\times 3} -\dfrac{k31}{6}= \dfrac{21-k31}{6}


k\dfrac{a}{b}=\dfrac{ka}{b}=\dfrac{ak}{b} vous n'avez k qu'au numérateur

Posté par
sinseyare : exprimée les coordonnées 25-08-20 à 20:23

bonsoir,
avec un peu de temps j'ai donc repris les énoncés un par un
en recherchant k qu'à partir du c), j'ai donc trouvé k=3/7 , j'ai vérifier AI et AB qui est bien = 0 et ensuite j'ai pu trouver les coordonnées de I.
c'était pas simple et vous m'avez bien aidé, je vous remercie.

Posté par
heklare : exprimée les coordonnées 25-08-20 à 20:40

Bonsoir

D'accord k=3/7  par suite

I\ \left(\dfrac{5}{7}~;~\dfrac{27}{7}\right)

De rien
On termine le troisième maintenant ?

Posté par
sinseyare : exprimée les coordonnées 25-08-20 à 21:05

j'ai trouvé 5/7 et 9/7 pas 27/7, j'aurais fais une erreur de calcul?

Posté par
heklare : exprimée les coordonnées 25-08-20 à 21:17

Non cela doit être moi

\dfrac{21-31\times \frac{3}{7}}{6}=\dfrac{21\times 7-3\times 31}{6\times 7}=\dfrac{147-93}{42}=\dfrac{54}{42}=\dfrac{9}{7}

mauvaise recopie  2 au lieu de 6

C'est bien

Posté par
sinseyare : exprimée les coordonnées 25-08-20 à 21:53

Vous me rassurez, bonne soirée

Posté par
heklare : exprimée les coordonnées 25-08-20 à 22:00

Bonne soirée

Bon courage pour la rédaction


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