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Exprimer x' et y' en fonction de x et y
Bonjour.
J'ai un problème sur un exercice :
A tout point M d'affixe z on associe le point M' d'affixe z'=2z2-3iz.
On pose z=x+iy et z'=x'+iy'.
A) exprimer x' et y' en fonction de x et y.
B) déterminer l'ensemble E des points M du plan tels que M' appartienne à l'axe des abscisses.
Je n'arrive donc déjà pas à répondre à la première question. J'avais une idée de remplacer z et z' par leurs expressions en fonction de x et iy mais ça ne donne rien de satisfaisant.
Après, peut-être dois-je me servir des coordonnées des points donnés : A, B, C, D, E d'affixes respectives 2i, 1, 1+3/4i, -2i, -1 en calculant les affixes des points correspondants par z'.
bonjour,
mais ça ne donne rien de satisfaisant
montre ce que tu as écrit et qui selon toi ne donne "rien de satisfaisant" ...
Voilà :
z'=2(x+iy)2-3i(x+iy)
z'=2(x2-y2+2ixy)-3ix+3y
z'=2x2-2y2+4ixy-3ix+3y
z'=2x2-2y2+3y+i(4xy-3x)
Et ensuite ? Remplacer z' par (x'+iy') ?
x'+iy'=2x2-2y2+3y+i(4xy-3x)
très bien
et il suffit de juste ouvrir les yeux pour identifier partie réelle de chaque côté
x' partie réelle du membre de gauche
2x² - 2y² + 3y : partie réelle du membre de droite
c'est la même chose
x' = 2x² -2y² + 3y
et pareil pour la partie imaginaire
Du coup, pour la deuxième partie de la question, dire que les points M' appartiennent à l'axe des abscisses revient à écrire que Im(z')=0 donc 4xy-3x=0 <-> x(4y+3)=0 <-> x = 0 et y = 3/4
C'est donc "l'ensemble" ? À quoi correspond-il ?
ce n'est pas ce que je te demandais
l'équation x = 0 est une équation de quelle figure géométrique connue ?
etc
x=0 correspond à l'équation de la droite D parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point O (donc l'axe des ordonnées en fait)
y=3/4 correspond à l'équation de la droite D' parallèle à l'axe des abscisses passant par le point de coordonnées (0;3/4)
Donc il y a deux droites à tracer ?
Et on demande après ce qu'on constate par rapport aux points A, B, C, D, E.
oui.
à toi de voir : as placé ces points là ? as tu calculé les images de ces points ?
A = 2i
ce point est où ? est il un point de l'ensemble (E) ? par conséquent son image est sur Ox ou pas ?
etc ...
Donc j'ai vérifié : les points A, C et D qui appartiennent à l'ensemble E ont bien leurs images sur l'axe des abscisses.
En revanche, pour ce qui est des points B et E situés sur l'axe des abscisses, leurs images n'appartiennent pas au l'ensemble et leurs affixes sont conjuguées.
et leurs affixes sont conjuguées.
oui, l'image de B est conjuguée de l'image de E
ceci est parce que B et E sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées
de façon générale les transformées des points d'affixe x+iy et -x+iy, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, ont des affixes x' + iy' et x' - iy' conjuguées :
leurs images sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses
c'est assez évident en regardant la forme des x' et y' obtenus question A
si on change x en -x, x' = 2x² - 2y² + 3y ne change pas
et y' = x(4y-3) change de signe
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