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Exprimer la Sn en fonction de n, puis en déduire sa limite

Posté par
roxanelejeune 23-03-17 à 19:35

Bonsoir à tous, je rencontre un problème lors de la résolution d'un exercice. J'ai réussi à trouver sa solution sur internet (Maths bac S sujet de Pondichéry de juin 2015, Exercice 5, question 3) mais je ne parviens pas à la saisir.

Pour tout entier naturel n non nul, exprimer Sn en fonction de n. En déduire la limite de la suite (Sn).
Avec:
  * Sn=?(n;k=1)Vk=V1+V2+V3+...+Vn
  *Vn= ln(n+1/n)
  *S3=ln4
La correction page 15/19 sur: http://***lien supprimé***énoncé à recopier***
Voilà, merci d'avance pour votre aide

Posté par
Zormuchere : Exprimer la Sn en fonction de n, puis en déduire sa limite 23-03-17 à 20:00

Bonsoir

V_n=\ln{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)}


S_n=V_1+V_2+\cdots+V_n\quad=\quad\ln{\dfrac{2}{1}}+\ln{\dfrac{3}{2}}+\ln{\dfrac43}+\cdots+\ln{\dfrac{n+1}{n}}\quad=\quad\ln{\left(\dfrac21\times\dfrac32\times\dfrac43\times\cdots\times\dfrac{n+1}{n}\right)}

=\ln{(n+1)}

Posté par
Zormuchere : Exprimer la Sn en fonction de n, puis en déduire sa limite 23-03-17 à 20:03

Tu peux aussi le faire de cette façon :

S_n=V_1+V_2+\cdots+V_n\quad=\quad\ln{\dfrac21}+\ln{\dfrac{3}{2}}+\ln{\dfrac43}+\cdots+\ln{\dfrac{n+1}{n}}\quad\\\\=\quad(\ln{2}-\ln1)+(\ln3-\ln2)+(\ln4-\ln3)+\cdots+(\ln{(n+1)-\ln{(n)}})\\\\=\ln{(n+1)}-\ln1\quad=\quad\ln{(n+1)}

Posté par
roxanelejeunere : Exprimer la Sn en fonction de n, puis en déduire sa limite 23-03-17 à 20:17

Merci mais j'ai besoin d'un autre renseignement, pourquoi le n+1 ne se simplifie pas aussi?

Posté par
Zormuchere : Exprimer la Sn en fonction de n, puis en déduire sa limite 23-03-17 à 20:51

Si tu regardes bien les dénominateurs seront 1, 2, 3,...n-1,  n
et les numérateurs seront 2, 3, 4... n, n+1

n+1 est au numérateur et pas au dénominateur

tous les autre de 2 à n sont dans les deux donc ils se simplifient

Posté par
roxanelejeunere : Exprimer la Sn en fonction de n, puis en déduire sa limite 23-03-17 à 22:12

Je vois maintenant, merci beaucoup de votre aide.


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