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Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une inconnue

Posté par
Chnath
01-11-18 à 16:01

Bonjour à tous, j'ai besoin d'aide pour un exercice de mon DM de maths, l'énoncé est le suivant :
(O;i;j) est un repère orthonormé du plan. On considère la droite (d) d'équation réduite y=2x
Soient A (1;1) et B le point d'abscisse variable m, située sur la droite (🔺) d'équation réduite y=-x+3

Je dois faire la figure avec les deux droites et le point A, ce que j'ai fais (voir l'image) et je dois répondre aux questions suivantes :

1)a)Exprimer les coordonnées de B en fonction de m
b) En détaillant votre démarche, déterminer les valeurs de m afin que les droites (AB) et (d) soient parallèles.

2)Soit Dm la droite d'équation cartésienne mx+y+m²-12=0
a)Démontrer que, quelle que soit la valeur du réel m, Dm ne passe jamais par le point C (2;14)
b)Démontrer qu'il existe deux valeurs de m que l'on déterminera pour lesquelles les droites (d), (🔺) et Dm sont concourantes.

Voilà je viens à peine de commencer et je comprends déjà pas comment répondre au 1)a), merci aux personnes qui m'aideront !

Exprimer les coordonnées d\'un point en fonction d\'une inconnue

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 16:24

Bonjour

un point appartient à une courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe

si le point d'abscisse 2appartient à la droite d'équation y=-x+3 alors  ses coordonnées sont (2~;~-2+3)

condition pour que deux droites soient parallèles ?

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 17:14

Qu'elles n'aient aucun point en commun ?

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 17:16

ce n'est pas une condition c'est plutôt la définition de deux droites parallèles

coefficients directeurs ?

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 17:19

Je suis pas sûr à 100% mais il faut que les deux droites aient le même coefficient directeur ?

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 17:31

C'est bien ça ?

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 17:39

oui

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 18:07

Bah du coup je comprends pas ce que je dois faire pour la 1)b) ^^ Je rappelle la condition pour que deux droites soient parallèles et ensuite?

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 18:14

avez-vous calculé le coefficient directeur de la droite (AB) ?

m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 18:49

Pas encore, je m'y colle
Je fais ça en sachant que A(1;1) et B(2;1) et je vous dis ce que j'ai trouvé !

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 18:53

m=1-1/2-1
m=0/1
C'est ça ?

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 18:54

B est un point d'abscisse m appartenant à la droite d'équation y=-x+3

pour garder x_B=m appelez le coefficient directeur de la droite autrement

B(m~;~-m+3)

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 19:00

Ah oui mince, donc je reprends :
m =-m + 3-1/ m-1
m=-m +2 / m-1

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 19:34

je vous avais dit de changer l'appellation

a n'intervenant pas on va dire que l'équation de la droite est y=ax+b

a=\dfrac{-m+2}{m-1}

que vaut le coefficient directeur de la droite \Delta

pour quelles valeurs de m a-t-on l'égalité  des coefficients directeurs ?

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 19:39

Le problème c'est que maintenant j'ai ça:
m=  \frac{-m+2}{m-1}

Et je sais pas quoi en faire..

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 19:48

Pour savoir le coefficient directeur de la droite "Triangle" déjà on est d'accord que A et B font partis de (Triangle) et que calculer le coefficient directeur de AB revient à calculer le coefficient directeur de (Triangle) ? Ou bien je suis complètement à côté de la plaque ?

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 20:03

désolé  c'était la droite (d ) quel est son coefficient directeur ?

on vient d'avoir le coefficient directeur de (AB)=\Delta=\dfrac{-m+2}{m-1}

écrivez l'égalité et résolvez

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 20:23

Donc le point A doit bel et bien faire parti de la droite 🔺 ? Car sur mon dessin ce n'est pas le cas...

Petite parenthèse hors-sujet mais est-ce que vous sauriez s'il y a un moyen que je sois notifié dès que vous me répondez ? Parce que depuis tout à l'heure je suis jamais notifié et je dois souvent vérifié mon post pour voir si on m'a répondu, donc je mets beaucoup de temps à vous répondre, c'est pas top...

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 20:48

ça je ne sais
  
je n'avais pas le texte en tête
seul B appartient à   \Delta

on a défini une autre droite la droite (AB)  

si A y appartenait  il n'y aurait plus de possibilité de parallélisme entre (AB) et (d)

coefficient directeur de (d)?

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 21:03

2 ?

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 21:09

oui
maintenant résolvez \dfrac{-m+2}{m-1}=2

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 01-11-18 à 22:05

Je vais devoir déconnecter, ça ne vous dérange pas si l'on continue demain ? Je reposterai un message avec le résultat que j'ai trouvé ! D'ici là je vais essayer de trouver une solution pour être notifié dès que l'on me répond, merci beaucoup pour vos réponses et à demain j'espère !

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 03-11-18 à 12:40

pas vu de message hier

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 03-11-18 à 15:24

Oui pardon je ne pouvais pas hier mais me revoilà !

Du coup avec le produit en croix je trouve 3m = 4 et donc m = 4/3, c'est bien cela ?

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 03-11-18 à 16:17

Donc là j'ai répondu au 1)a que les coordonnées de B sont B(m;-m+3) et au 1)b en détaillant puis en trouvant que les droites (AB) et (d) sont parallèles quand m=4/3 mais maintenant il me reste le 2)a et 2)b.

(Merci beaucoup pour votre aide jusqu'à présent !)

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 03-11-18 à 17:36

2. a.

Un point appartient à une courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe.

Montrez que pour les coordonnées de C, l'égalité n'est jamais vraie.

2) b.

Les droites sont concourantes si le système \begin{cases}y=2x\\y=-x+3\\y=-mx-m^2+12\end{cases} admet une solution.

Résolvez le système formé des deux premières équations. Déterminez ensuite les valeurs de m pour que la troisième égalité soit vérifiée en reportant x et y par les valeurs trouvées précédemment.

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 03-11-18 à 17:54

D'accord merci beaucoup, je fais ça en fin d'après midi et je vous tient au courant de ce que j'ai trouvé !

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 02:19

Donc pour le 2)b je dois d'abord résoudre 2x = -x +3 ? Si oui je trouve que y=2 et x=1, du coup la troisième égalité je remplace y par 2 et x par 1 et ça donne 2 = -m -m² +12 ce qui donne m + m² = 10, mais je sais pas si ce que j'ai fais jusqu'ici est bon et si c'est bon je sais pas comment résoudre m + m² = 10.

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 09:29

Oui, les coordonnées du point d'intersection de d et \Delta sont bien (1~;~2)

Pour  que d_m passe par ce point, on doit alors avoir 2=-m-m^2+12

c'est-à-dire m^2+m-10=0

Comment les résolvez-vous en seconde ? ou au début de cette année

\Delta=b^2-4ac?

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 12:56

Et voici ma réponse pour la 2)a :

L'équation mx+y+m²-12 est de la forme ax+n'y+c avec a=m b=1 et c=m²-12
Donc un des vecteurs de Dm est v(-b;a)=(-1;m)
Soit M (x;y) du plan
M appartient à Dm ssi vecteurCM et vecteurV sont colinéaires
                        (x-2   )       (-1)
                        (y-14) et (m) sont
                              colinéaires

<=> m(x-2)-(-1)(y-14)=0
       mx-2m+1y-14=0
       mx+y-2m-14=0

Si Dm passe par le point C(2;14) l'équation cartésienne  de Dm serait identique à mx+y+m²-12=0 or elles ne sont pas identiques donc Dm ne passe pas par le point C(2;14) quel que soit la valeur de m.

Pensez vous que ma démarche et ce que j'ai trouvé sont justes ? Merci d'avance

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 13:04

Et pour le 2)b Delta = b² -4ac
=m² -4 * m² * (-10)
=m² + 40m²
=41m² ?

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 13:05

si vous voulez

vous écrivez la droite parallèle à d_m passant par C

elles ne sont pas confondues

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 13:06

non l'inconnue est m

a=1 b=1 c=-10

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 13:18

Oulah oui pardon j'ai fais n'importe quoi, en plus je sais faire ça normalement.. Delta = b² -4ac
=1² -4* 1 * (-10)
=1 + 40
=41
Je dois calculer les racines ?

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 13:38

Oui puisqu'on vous les demande

Citation :
Démontrer qu'il existe deux valeurs de m que l'on déterminera pour lesquelles les droites (d), (🔺) et Dm sont concourantes

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 17:12

Du coup je trouve x1 = -2,70 et x2 = 3,70 c'est bien ça ? Du coup j'ai répondu aux deux questions, ce que j'ai répondu pour le 2)a c'est bon vous pensez ?

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 17:36

pour la question 2a  je vous ai répondu 13:05

donnez toujours les valeurs exactes.   Après, si on le demande des valeurs approchées.

L'inconnue est m . Les solutions sont alors notées m_1, \ m_2

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 17:38

Ah non pardon, réctification : x1 = -3,70 et x2 = 2,70

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 17:42

D'accord très bien pour les solutions que je dois appelées m1 et m2 et pas x1 et x2 mais pour le 2)a j'ai pas compris votre message à 13:05 justement

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 17:44

Je vous ai écrit ma réponse au 2)a, pourriez vous citer ce qui n'est pas bon dans ma réponse pour que je puisse réctifier ?

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 18:06

j'exprimais ce que vous aviez fait

Il faudrait alors prouver qu'il n'y ait aucun  m
pour lequel les termes constants sont identiques

le plus simple est quand même de remplacer x et y par les valeurs de C

2m+14+m^2-12=m^2+2m+2=(m+1)^2+1\not=0 pour tout m donc C\not\in (d_m)

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 18:14

Ah oui d'accord c'est une manière plus simple de le faire, je vais mettre les deux dans ma copie, merci beaucoup !

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 18:15

Bon, ben je pense que vous m'avez aidé pour tout les exercices et que j'ai plus qu'à recopier ça au propre, merci beaucoup pour votre aide et bonne soirée !

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 18:18

de rien

bon courage pour la rédaction

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 18:25

Merci bien

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 18:58

Je reviens vers vous car petit problème au moment de la rédaction du 2)b, dans le message que vous avez posté le 03 Novembre à 17h36 vous m'avez dit que les droites sont concourantes si les système y=..... y=.... et la troisième vous avez marqué -mx-m²+12 alors que l'équation de la droite est marqué comme mx+y+m²-12 sur l'énoncé, c'est normal ?

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 19:04

J'ai écrit les trois droites sous la même forme  y=

 mx+y+m^2-12=0
si l'on isole  y  on obtient y=-mx-m^2+12

si cela vous gêne écrivez l'équation de la droite comme vous l'avez dans l'énoncé

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 19:06

Ah bah non pardon c'est complètement logique c'est tout à fait normal en fait, pardon de la question bête !

Posté par
hekla
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 19:21

il n'y a jamais de question stupide

Posté par
Chnath
re : Exprimer les coordonnées d'un point en fonction d'une incon 04-11-18 à 19:36

Pas faux ^^



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