Bonsoir, je suis bloquée à un exercice, j'ai fait les premières question mais  je bloque pour la suite.
Voici l'énoncé :

La méthode de poolage est utilisée dans la détection des porteurs d'un parasite au sein d'un ensemble donné de N individus tirés au sort de façon indépendante, dans une population très vaste par rapport a N.
La proportion de porteur du parasite dans la population est p(o<p<1).
On dispose d'un test permettant de savoir de façon certaine qu'un échantillon de sang contient ou non le parasite, le résultat d'un test étant dit positif dans le premier cas et négatif dans le second.
Pour chacun des N individus, on possède un prélèvement sanguin.
la méthode du poolage consiste à répartir les N prélèvement en groupes de n prélèvements.
On mélange les prélèvements de ces n individus et on teste ces mélanges.
Si le mélange est positif dans un groupes, on teste le prélèvement de chaque individu du groupe concerné.
La question est de savoir dans quelles conditions le poolage permet d'économiser des tests par rapport au fait de tester chacun des N prélèvements.

A-
On prend N=60 et on fait 20 groupes de trois que l'on numérote de 1 à 20.
Pour chaque groupes i, i entier de 1 à 20, on note Hi le mélange des prélèvements des trois individus du groupe.
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de groupe pour lesquels le test de Hi est négatif.
Soit T la variable  aléatoire qui correspond au nombre total de test effectués.

1) Justifier que la probabilité que le test de Hi soit négatif est (1-p)³.
2) Quelle est la loi de la variable aléatoire X ? En déduire son espérance mathématique.
3) Prouver que T = 80-3X et en déduire l'espérance mathématique de T en fonction de p.
4) Le nombre de tests à effectuer étant de 60 lorsque l'on teste les prélèvements de chaque individu, on considère que le poolage est rentable si E(T)60.
a) Justifier que E(T)60 si et seulement si 1/3-(1-p)³0.
b) Étudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0;1] par g(x)=1/3-(1-x)³ .
En déduire que l'équation g(x)=0 a une unique solution, puis en déterminer une valeur approchée à 0,1 près.
c) Conclure en précisant pour quelles valeurs de p la méthode du poolage est rentable.

B-
Si N est le nombre d'individus, on fait N/n groupes de n individus.
On suppose N assez grand devant n pour négliger le fait qu'un groupe pourrait ne pas être complet.
La démarche et les notation restent celles de la partie A-.

1) Déterminer la loi suivie par X.
2) Exprimer T puis en déduire que E(T)=N(1+(1/n)-(1-p)ⁿ).
3) Montrer que E(T) est minimal si et seulement si 1+(1/n)-(1-p)ⁿ est minimale.
4) Pour chacune des valeurs suivantes de p : 0,1 ; 0,01 et 0,001 , déterminer à l'aide d'un tableur  la valeur de n telle que E(T) soit minimale.
Vérifier dans chacun des cas que le poolage est rentable.


J'ai trouver :
A-
1) La probabilité pour un individu de porter le parasite est p, donc celle de ne pas le porter est 1-p.
Pour un échantillon de trois personne (1-p)*(1-p)*(1-p)= (1-p)³

2) X suit une loi binomiale de paramètre (20 ; (1-p)³) où n= 20 et p=(1-p)³
E(X)= 20*(1-p)³

3) On effectue 20 tests, dans le cas où tous les groupes sont positifs nous devons donc tester les individus un par un. Ce qui fait 20+3*20= 80
80 correspond au nombre de test qui devront être effectués dans le cas où tous les groupes sont positifs.
3X correspond aux prélèvements qui ne seront pas à faire dans le cas Hi est négatif.
Donc T correspond au nombre total de tests effectués donc T=80-3X

4) a) E(T)<=60 si et seulement si 1/3-(1-p)³0 car (1-p)³ est la probabilité de ne pas porter le parasite.

Je bloque a partir de là, merci d'avance pour votre aide.