Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Extensions normale définitions équivalentes
Salut,
On se donne des extensions ou
est une cloture algébrique de
et donc de
.
Je veux montrer que si on a
, alors
irréductible tq
une racine de
,
se scinde sur
.
J'ai quelqu'un qui donne une preuve, on prend irréductible,
une racine dans
(qui existe par hypothèse),
une racine dans
, on a que
et après il dit que
est le corps de décomposition de
(et
) mais je ne vois pas bien pourquoi c'est vrai. Si c'est le cas on peut étendre l'isomorphisme, mais je n'arrive pas à le voir.
Quelqu'un peut m'aider ?
Bonjour,
Tu envoies dans
en envoyant
sur
, et après tu utilises que tout plongement de
dans
s'étend en un automorphisme de
(le tout au-dessus de
, bien entendu).
Merci pour ta réponse.
Oui mais on ne fait ça que si on sait que est un corps de décomposition non ?
Peut être que je me suis mal exprimé mais ma question c'est : pourquoi est il un corps de décomposition de
?
Oui je suis d'accord. Dans la définition que j'ai de corps de décomposition on veut également que l'inclusion soit minimale.
n'est sûrement pas en général le corps de décomposition du polynôme irréductible, ça ne peut se produire que si
est réel clos.
Mais on n'a absolument pas besoin de ça pour étendre le plongement en un automorphisme.
Mais si on a "juste" que les polynômes dans se scindent sur
par exemple ça ne marche pas ? Parce que je n'ai vu le résultat sur l'extension d'un isomorphisme que sur un corps de décomposition (minimal donc), mais en réalité n'importe quel corps qui vérifie la propriété que les polynômes se scindent marche aussi c'est ça ?
Qui est ? Si
est une extension algébrique de
telle que tout polynôme à coefficients dans
est scindé sur
, alors
est une clôture algébrique de
.
Le prolongement en un automorphisme de la clôture algébrique se montre sans difficulté grâce au lemme de Zorn.
Oui c'est ça.
Mais c'est très puissant non ? Puisque l'existence de la cloture algébrique est garantie, on pourra forcément étendre un automorphisme.
Et si on prend un isomorphisme entre 2 corps qui ne sont pas inclus dans la même cloture algébrique, ça marche mois bien non ?
Puisque ça voudrait dire que les clotures algébriques sont isomorphes, mais on en sait rien. On peut l'étendre pour des extensions plus fines que les clotures algébriques.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac