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Extraire une base d'une famille génératrice
Bonjour à tous !
Je suis complètement bloqué sur un exercice, je ne sais pas du tout par où commencer.
Voici l'énoncé :
Soit W = Vect({w1, w2, w3}) le sev de 
3 engendré par les vecteurs w1 = (1, 1, -1), w2 = (2, -3, 1) et w3 = (9, -21, 9).
Extraire de la famille (w1, w2, w3) une base de W. En déduire la dimension de W.
Je sais, d'après le théorème de la base incomplète, que l'on peut extraire une base d'une famille génératrice. Cependant, je ne sais pas exactement ce que cela veut dire.
Mon prof m'a expliqué qu'il fallait prendre une combinaison de 2 vecteurs pour obtenir le 3eme, quelque chose comme ça, mais là je ne vois pas du tout comment je peux obtenir un résultat pareil.
J'ai vu sur un autre topic quelqu'un qui prenait a,b,c 
tq a.w1 + b.w2 + c.w3 = 0
On obtiendrait ainsi un système :
{a + 2b + 9c = 0
{a - 3b - 21c = 0
{-a + b + 9c = 0
Mais en résolvant a, b et c valent 0 du coup je ne vois pas trop l'intérêt de faire ça ...
Si quelqu'un a une idée 
Merci d'avance !
Maxime
Mais en résolvant a, b et c valent 0 du coup je ne vois pas trop l'intérêt de faire ça ...
Bonjour mastyxx
Dans l'hypothèse où ton calcul est juste, cela signifie exactement que la famille
Bonjour,
Le déterminant associé à ton système homogène étant nul, il résulte qu'il existe des solutions distinctes de la solution triviale. Autrement dit, la famille proposée est génératrice d'un sev de
, mais n'est pas libre.
tes trois vecteurs forment une famille génératrice
s'ils forment une famille libre c'est une base
sinon tu peux exprimer un vecteur en fonction des deux autres
Tu as du te tromper en résolvant ton système
ecris
L1
L2-L1
L3+L1
il ne rets plus que deux équations et on obtient c=-b/6 a=-b/2
il ne rets plus que deux équations et on obtient c=-b/6 a=-b/2
J'ai compris comment tu as fait, mais comment ces deux résultats peuvent former une base ? (Je débute complètement dans le domaine et je ne comprends absolument rien ...)
on peut donc choisir b=-6 ce qui donne a=3 et c=1
donc W3= -3W1+6W2
la famille (W1,W2,W3) est donc lié
par contre (W1,W2) est une famille libre qui engendre W donc le sev est de dimension 2
salut
sauf erreur je crois savoir qu'en calculant le rang de la matrice former par ces 3 vecteurs que cela permet de dégager le nombre maximum de vecteurs libres ( apres calcul le rang vaut 3)
Bonsoir
le th de la base incomplète permet plutôt de compléter une famille libre en une base, me semble-t-il.
Une manière de faire, ici :
on considère l'espace engendré par :
,
et
.
et
sont clairement non colinéaires.
est donc de dimension 2 et
en est une base.
Peut-on trouver deux réels a et b tels que ? Si oui, on aura forcément(deux premières composantes) 9 = a + 2b, -21 = a - 3b, donc par soustraction b = 6 et ensuite par substitution a = -3.
On calcule ensuite . On en déduit que
est dans
, et par conséquent
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