Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Extrema locaux : fonctions tordues
Bonjour 
Pour bien fixer les notations, soit f une fonction de R dans R, .
On dit que
* x0 est un maximum local ssi (de même pour minimum local)
* x0 est un extremum local si x0 est soit un maximum local, soit un minimum local.
* x0 est un maximum local strict ssi (de même pour minimum local strict)
* x0 est un extremum local strict si x0 est soit un maximum local strict, soit un minimum local strict.
Le but du jeu est, non seulement de répondre aux question qui suivent, mais éventuellement d'en inventer d'autres à peu près aussi tordues et d'essayer de les résoudre 
1°)
a) Trouver une fonction non constante dont tous les points sont des extrema locaux.
b) Montrer qu'une fonction continue dont tous les points sont des maxima locaux est constante.
c) Montrer qu'une fonction continue dont tous les points sont des extrema locaux est constante.
2°)
a) Trouver une fonction dont l'ensemble des maxima locaux stricts est dense dans R.
b) Existe-t-il une fonction dont tous les points sont des maxima locaux stricts?
3°)
a) Trouver une fonction dont l'ensemble des maxima locaux stricts est dense, ainsi que l'ensemble des minima locaux stricts.
b) Existe-t-il une fonction dont tous les points sont des extrema locaux stricts?
Vous pouvez répondre à n'importe quelle question, dans n'importe quel ordre, mais elle sont a priori classées par ordre de difficulté.
Amusez-vous bien
(réponses blankées, svp)
Fractal 
Salut
Je pose la question auquel M. D n'a pas daigné répondre
Trouver une fonction dérivable en tout point mais dont la dérivée n'admet de limite en aucun point.
PS : Peut être que si tout le monde s'y met on arrivera à 18 questions
Salut
T'avais aussi posé comme question "Trouver une fonction strictement monotone, dérivable en tout point, et dont la dérivée s'annule sur un sous ensemble dense de R." mais il n'avait pas non plus d'exemple en tête
Fractal
Tiens, ça y est, j'ai la réponse de ces deux dernières questions
D'après 
, l'ensemble des points de continuité d'une fonction dérivée est dense, et donc a fortiori elle admet une limite en au moins un point.
Ainsi, il n'existe aucune fonction dérivable en tout point mais dont la dérivée n'admet de limite en aucun point, ni de fonction strictement monotone, dérivable en tout point, et dont la dérivée s'annule sur un sous ensemble dense de R.
Fractal
Hum pourtant Otto a donné un exemple de telle fonction ici
Non, sa fonction n'est pas dérivable partout, et pour cause, elle est discontinue en tout rationnel.
Par contre l'ensemble des points où elle est dérivable et de dérivée nulle est bien dense et la fonction est strictement croissante.
Fractal
Bonjour,
je commence à répondre, j'ai une question (que je me pose) pour plus tard! 
Cliquez pour afficherBon je pose quand même ma question! (je suis fatigué... 
)
Existe-t-il une fonction continue dont l'ensemble des extrema locaux stricts sont denses dans R?
Je reprends ma démonstration deux posts au dessus, désolé si elle n'est pas simple...
Cliquez pour afficher
x < b | f admet un maximum local en x }
]a,b[. y appartient donc à Fb, avec f(y) > f(a).
S'il y a plus simple je suis preneur
Annuler
connectez vous