Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau école ingénieur
Partager :

f(x)=2^{-x}-3^{-x}+4^{-x} strictement décroissante ?

Posté par
prdox
18-06-22 à 16:29

Bonjour,

Je cherche a prouvé que la fonction
f_{4}(x)=2^{-x}-3^{-x}+4^{-x}
est strictement décroissante pour x \in ]0;1[

j'ai déja prouvé que
f_{2}(x)=2^{-x} est strictement décroissante pour x \in ]0;1[
et que
f_{3}(x)=2^{-x}-3^{-x} est strictement croissante pour x \in ]0;1[

et dans l'idéal je cherche une méthode pour prouver que

f_{2k}(x)=\sum_{j=2}^{2k}{(-1)^j*j^{-x}} est strictement décroissante pour x \in ]0;1[
et que
f_{2k+1}(x)=\sum_{j=2}^{2k+1}{(-1)^j*j^{-x}} est strictement croissante pour x \in ]0;1[

j'ai vérifié avec mapple ca semble etre le cas meme si je n'en ai pas la preuve.


on a

f4'(x)=-ln(2)*2^{-x} + ln(3)*3^{-x}-ln(4)*4^{-x}
et j'aimerais prouver f4'(x)<0

j'ai étudier la fonction
g_{1}(n)=ln(n)*n^{-x}

qui est strictement positive pour n >= 2,
croissante pour n < e^{1/x},
égale à 1/(x*e) pour n=e^{1/x}
puis décroissante pour n > e^{1/x}

ce qui ne me permet pas de conclure, ca aurait été bien qu'elle soit soit strictement croissante soit strictement décroissante.

j'ai étudier la fonction
g_{2}(n)=ln(n)*n^{-x}-ln(n+1)*(n+1)^{-x}

qui s'annule pour

 x = {{ln( {ln(n) \over ln(n+1)} )} \over {ln({n \over (n+1)})}}

qui appartient a  ]0;1[ pour n>=3

ce qui ne me permet toujours pas de conclure.

Auriez vous une piste pour résoudre mon problême ?

Merci d'avance.

Posté par
carpediem
re : f(x)=2^{-x}-3^{-x}+4^{-x} strictement décroissante ? 18-06-22 à 17:37

salut

montrer que g_n(x) = n^{-x} + (n + 1)^{-x} est croissante sur [0, 1]

alors f_{2n} = \sum_?^? g_k et une somme de fonctions croissantes est croissante

pour le cas impair ça me semble plus compliqué ...

Posté par
prdox
re : f(x)=2^{-x}-3^{-x}+4^{-x} strictement décroissante ? 18-06-22 à 17:50

bonjour carpediem, merci pour ta réponse

je ne comprends pas ce que tu m'as dit ta fonction g(n) me semble decroissante sur ]0;1[ et je pense que tu voulais peut etre parler de la fonction g(n)=n^{-x}-(n+1)^{-x} qui n'est ni strictement croissante ni strictement décroissante sur ]0;1[
 \\

Posté par
prdox
re : f(x)=2^{-x}-3^{-x}+4^{-x} strictement décroissante ? 18-06-22 à 17:55

je veux dire pour x \in ]0;1[

Posté par
carpediem
re : f(x)=2^{-x}-3^{-x}+4^{-x} strictement décroissante ? 19-06-22 à 11:56

oui c'est avec un moins ...

en fait il y a l'exponentielle de base n f_n  :  x \mapsto n^{-x}  (ou son inverse) donc la variation est immédiate puisque n > 1

puis g_n(x) = n^{-x} - (n + 1)^{-x}

puis h_n(x) = n^{-x} - (n + 1)^{-x} + (n + 2)^{-x}

dont les variations sont à déterminer ...


ensuite je voulais surtout te dire que pour tes sommes soit tu regroupes par 2 soit tu regroupes par 3 pour obtenir des sommes de fonctions de même variations ...

PS : pourquoi exclure 0 et 1 ?

Posté par
prdox
re : f(x)=2^{-x}-3^{-x}+4^{-x} strictement décroissante ? 19-06-22 à 14:35

j'ai résolu le cas f_{4}(x)

on a

 f_{4}'(x) = -ln(2)*2^{-x}+ln(3)*3^{-x}-ln(4)*4^{-x} = -ln(2)*2^{-x}+ln(3)*3^{-x}-2*ln(2)*(2^{-x})^{2} = -ln(2)*2^{-x}*(1+2^{1-x})+ln(3)*3^{-x}


 x \in ]0;1[ implique 2^{1-x} \in ]1;2[ donc
f_{4}'(x)\leq -2*ln(2)*2^{-x}+ln(3)*3^{-x}

or

h(x)=-2*ln(2)*2^{-x}+ln(3)*3^{-x} s'annule pour x = ln({2*ln(2) \over ln(3)})/ln(2/3) \simeq -0.5736 < 0

donc h(x) est de signe constant dans ]0;1[ et est du signe de h(0) = -2*ln(2)+ln(3) \simeq -0.28768 < 0

donc   h(x) < 0   pour x \in ]0;1[ donc f_{4}'(x) < 0 pour x \in ]0;1[

et c'est ce que je cherchais a prouver, me reste a traiter les cas f_{k}(x) pour k \geq  5
 \\



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !