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f(x)=(x+1)e(-1/x)

Posté par
bibilolo 04-09-10 à 16:58

Bonjour, voila un exo de term s qui me pose problème:

Soit f(x)=(x+1)e(-1/x) pour x supérieur à 0 et f(0)=0

1-a- Montrer que f est continue en 0
b- Calculer la dérivée f' de f
c- Déterminer la limite de (1+u)e-u quand u tend vers l'infini. en déduire que f est dérivable en 0 et trouver f'(0)
d- Etudier le sens de variation de f
e- Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers + l'infini

2 Soit g(x)= 1-(1+x)e-x défini sur 0 + l'infini
a- Calculer la dérivée g'
b Prouver que 0 inférieur à g'inférieur à x pour tout x
c- En déduire que 0 inférieur à g inférieur à xcarré/2 (On peut étudier la fonction h(x)=g-(xcarré/2)

3a- A l'aide du 1 prouver que 0 inférieur à x-f inférieur à 1/2x
b En déduire que C (courbe représentative de f admet une asymptote en + l'infini. Présisez les positions de C par rapport à l'asymptote

4 Soit x0 un élément tel que x0supérieur à 0 et inférieur à + l'infini et Tx0 la tangent à C au point d'abscisse x0
a- Déterminer équation carthésienne de Tx0
b- Montrer que Tx0 coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse x0/(1+x0+x0carré)


Bien sur j'ai commencé:
Donc la 1a et 1b c'est bon
la 1c je vois pas le lien puiqu'il faut en déduire?
la 1d c'est bon
la 1e pas sur

la 2a c'est bon

Par contre après je sèche complètement donc j'ai besoin d'un coup de pouce.

Posté par
Hiphigeniere : f(x)=(x+1)e(-1/x) 04-09-10 à 19:32

Bonjour bibilolo,

Pour la 1c), tu as dû trouver que \textrm\lim_{u\to +\infty}{(1+u)e^{-u}} = 0.

Pour montrer que f est dérivable en o, il faut que \textrm\lim_{h\to 0^+}{\frac{f(h)-f(0)}{h}} existe et est un nombre réel.

Comment calcules-tu cette limite ?

\textrm\lim_{h\to 0^+}{\frac{f(h)-f(0)}{h}} = \lim_{h\to 0^+}{\frac{(h+1)e^{\frac{-1}{h}}}{h}} = \lim_{h\to 0^+} {(1+\frac{1}{h}) e^{\frac{-1}{h}}}.

Tu poses u =\frac{1}{h} et tu utilises le fait que \textrm\lim_{u\to +\infty}{(1+u)e^{-u}} = 0.

Posté par
Hiphigeniere : f(x)=(x+1)e(-1/x) 04-09-10 à 20:02

Pour la 1 e) \textrm\lim_{x\to +\infty}\ {(x+1)} = +\infty

\textrm\lim_{x\to +\infty}\ {e^{\frac{-1}{x}}} = e^0 = 1

Donc \textrm\lim_{x\to +\infty}{f(x)} = +\infty

Posté par
bibilolore : f(x)=(x+1)e(-1/x) 04-09-10 à 20:32

ok donc j'avais bon j'ai cherché entre temps.
Par contre la partie 2 j'arrive pas 2b et 2c. pareil pour la 3a et 3b
Mais j'ai réussi la 4a et 4b
Pourrais tu (ou quelqu'un d'autre m'aider à avancer?
Merci d'avance

Posté par
Hiphigeniere : f(x)=(x+1)e(-1/x) 04-09-10 à 20:53

Question 2 b)

D'abord, \rm g^{‘}(x) = x.e^{-x}

g'(x) > 0 me paraît évident puisque chacun de ses facteurs est strictement positif.

g'(x) < x \rm x.e^{-x} < x \rm e^{-x} < 1   \rm \frac{1}{e^{x}} < 1   \rm e^{x} > 1 , ce qui paraît évident puisque x >0.

Posté par
bibilolore : f(x)=(x+1)e(-1/x) 04-09-10 à 21:21

ok donc en gros tu décompose la fonction petit à petit en partant de l'hypothèse x positif (j'espère que c'est clair)
Merci j'essaie la 2c

Posté par
bibilolore : f(x)=(x+1)e(-1/x) 04-09-10 à 21:48

bon j'y arrive pas tu peux me donner une piste?

Posté par
bibilolore : f(x)=(x+1)e(-1/x) 04-09-10 à 22:01

je vais essayer plutot la 3a et b merci si quelqu'un peut m'aider et merci pour l'aide déjà recue

Posté par
bibilolore : f(x)=(x+1)e(-1/x) 04-09-10 à 22:47

ok ppour la 2c j'ai intégré le résultat de la 2b, je ne sais pas pourquoi j'avais pas vu cela avant.
Par contre toujours pas d'idée pour la 3a et 3b

Posté par
Hiphigeniere : f(x)=(x+1)e(-1/x) 05-09-10 à 09:21

Par le 2), nous avons : \rm 0 < 1 - (1 + x)e^{-x} < \frac{x^2}{2} pour tout x > 0.

c'est-à-dire par un changement de notation, \rm 0 < 1 - (1 + u)e^{-u} < \frac{u^2}{2} pour tout u > 0.

En posant u=\frac{1}{x}, nous avons alors : \rm 0 < 1 - (1 + \frac{1}{x})e^{-\frac{1}{x}} < \frac{1}{2x^2} pour tout x > 0.

Si nous multiplions les trois membres par x > 0, nous aurons :

\rm 0 < x[1 - (1 + \frac{1}{x})e^{-\frac{1}{x}}] < \frac{1}{2x} pour tout x > 0,

soit    \rm 0 < x - (x + 1)e^{-\frac{1}{x}} < \frac{1}{2x} pour tout x > 0

ou encore  \rm 0 < x - f(x) < \frac{1}{2x} pour tout x > 0.

Il le reste à faire tendre x vers +∞, appliquer la règle du gendarme, pour voir que   \textrm\lim_{x\to +\infty}\ {(x - f(x))} = 0   et en déduire l'existence d'une asymptote oblique en +∞ d'équation : y = x.

Posté par
bibilolore : f(x)=(x+1)e(-1/x) 05-09-10 à 09:34

ok merci j'ai fini et surtout le plus important compris!
Merci beaucoup!


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