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Niveau Licence Maths 1e ann
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f continue I fermé et f(I) non fermé

Posté par
bouri
11-09-21 à 12:24

Bonjour à tous,

Je cherche un exemple de fonction f continue, I intervalle fermé tel que f(I) ne soit pas fermé.

Je ne vois pas trop comment cela est possible sachant que f est continue..


Merci d'avance et bonne journée

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 12:29

Bonjour,
Dans quel contexte cherches-tu cet exemple ?
Quelle est l'image d'un intervalle fermé par une fonction continue ?

Posté par
WilliamM007
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 12:36

Bonjour.

Tu vas chercher longtemps je crois

Posté par
jsvdb
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 12:48

Bonjour,
il est tout-à-fait possible que l'image directe, par une fonction continue, d'un intervalle fermé (resp. ouvert), ne soit pas fermé (resp. ouvert).
Si une telle fonction vérifie que l'image d'un ouvert quelconque (resp. fermé quelconque) est un ouvert (resp. un fermé), on dit que la fonction est ouverte (resp. fermée).

L'exemple type est la fonction arctan sur IR.

Posté par
bouri
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 13:03

En effet, c'est impossible... Toute fonction f : [a,b] est bornée et atteint ses bornes

C'est bien cela ?

Merci et bonne après-midi

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 14:07

@bouri
Oui, c'est cela.

@jsvdb,
L'image d'un intervalle fermé par une fonction continue est un intervalle fermé.
Quant à l'exemple de arctan sur , il ne prouve rien puisque l'image de par cette fonction est un intervalle ouvert.
Par contre, la fonction carré ou la fonction sinus...

Posté par
jsvdb
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 14:08

Ce que tu dis est vrai, mais n'englobe pas tous les cas.
La fonction arctan répond à ce que tu demandes : l'image du fermé IR est l'ouvert ]-pi/2; pi/2[ qui est ouvert.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 14:11

, un intervalle fermé ? C'est nouveau

Posté par
jsvdb
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 14:11

Sylvieg @ 11-09-2021 à 14:07

il ne prouve rien puisque l'image de par cette fonction est un intervalle ouvert.

C'est ce qui est demandé, l'intervalle image n'est pas fermé.

Posté par
jsvdb
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 14:17

Sylvieg @ 11-09-2021 à 14:11

, un intervalle fermé ? C'est nouveau

IR est un intervalle
IR est fermé
Mais IR n'est pas un intervalle fermé ... vu comme ça c'est amusant !
Mais oui, tu as raison ! Encore un paradoxe auquel je n'avais jamais fait attention

Posté par
Foxdevil
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 15:12

jsvdb @ 11-09-2021 à 14:17

Sylvieg @ 11-09-2021 à 14:11

, un intervalle fermé ? C'est nouveau

IR est un intervalle
IR est fermé
Mais IR n'est pas un intervalle fermé ... vu comme ça c'est amusant !
Mais oui, tu as raison ! Encore un paradoxe auquel je n'avais jamais fait attention

Posté par
GBZM
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 15:25

Bonjour,

Un intervalle fermé est-il forcément borné ?
Cette bizarrerie ferait partie des programmes du secondaire ?

Posté par
Foxdevil
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 15:32

GBZM @ 11-09-2021 à 15:25

Bonjour,

Un intervalle fermé est-il forcément borné ?
Cette bizarrerie ferait partie des programmes du secondaire ?
Du coup, oui. Car être "un intervalle fermé" exclut les bornes infinies, quand bien même ces intervalles peuvent être des fermés...

Posté par
GBZM
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 15:47

Citation :
Car être "un intervalle fermé" exclut les bornes infinies,

Peux-tu me donner une référence ?
Pour moi, [0,+\infty[ est un intervalle fermé non borné.
Wikipedia est aussi de cet avis :

Posté par
jsvdb
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 16:04

Je sens que le débat sur les intervalles est relancé.
Effectivement, Wikipédia donne bien IR comme un intervalle à la fois ouvert et fermé, ce que je faisais inconsciemment aussi comme M Jourdain avec la prose; considérer IR comme un intervalle fermé est loin d'être incongru.

Posté par
Foxdevil
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 16:09

Citation :
Peux-tu me donner une référence ?
Oui et non. Non, car j'évoquais le sens usuel tel qu'il est généralement expliqué au lycée. Oui, car le lien que tu donnes et les cours de niveau seconde font la distinction entre intervalles fermés, ouverts et semi-ouverts

Les mots "ouverts" et "fermés" ne sont donc pas vraiment pris au sens topologique (même si ça colle dans certains cas)....

Posté par
Foxdevil
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 16:13

Citation :
Les mots "ouverts" et "fermés" ne sont donc parfois pas vraiment pris au sens topologique (même si ça colle dans certains cas)....

Posté par
jsvdb
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 16:24

Oui, c'est ce qu'on apprend classiquement :
- on appelle intervalles ouverts, les objets de la forme ]a,b[
- on appelle intervalles fermés, les objets de la forme [a,b]
Mais ici, les dénominations de ouverts et fermés n'ont effectivement pas de contexte topologique.

C'est une fois qu'on fait de la topologie et qu'on met sur IR la topologie dont une une base est donnée pas les intervalles ouverts, que les intervalles ]a,b[ deviennent des ouverts au sens topologique (et que les [a,b] deviennent des fermés). A ce titre, IR devient donc un intervalle à la fois ouvert et fermé.

Il y a donc trois types d'intervalles fermés qui peuvent être invoqués pour répondre positivement à bouri : IR, les [a;+inf[ et les ]-inf;b] (où a et b sont réels)

Posté par
GBZM
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 16:33

J'ai parcouru les programmes de mathématiques du lycée. J'ai remarqué qu'ils se gardent bien de parler d'intervalle ouvert ou d'intervalle fermé.

On est dans le rubrique "Supérieur" du forum. Je trouverais curieux qu'un enseignant du supérieur ne mette pas [0,+\infty[ dans les intervalles fermés.

Bien sûr tout ça n'est qu'une question de définition.  Mais il vaut mieux avoir des définitions cohérentes. Et avoir une partie de \R qui coche la case "intervalles", qui coche la case "fermé" , mais qui ne coche pas la case "intervalle fermé" me semble assez incohérent.

Posté par
jsvdb
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 16:42

GBZM @ 11-09-2021 à 16:33

Et avoir une partie de \R qui coche la case "intervalles", qui coche la case "fermé" , mais qui ne coche pas la case "intervalle fermé" me semble assez incohérent.

C'est bien ce que mon post de 14:17 soulignait

Posté par
jsvdb
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 16:44

GBZM @ 11-09-2021 à 16:33

J'ai parcouru les programmes de mathématiques du lycée. J'ai remarqué qu'ils se gardent bien de parler d'intervalle ouvert ou d'intervalle fermé.

Chez Acadomia, je ne me gêne pas pour en parler, et visiblement, les élèves semblent connaître.

Posté par
Foxdevil
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 17:00

Citation :
Mais il vaut mieux avoir des définitions cohérentes. Et avoir une partie de \R qui coche la case "intervalles", qui coche la case "fermé" , mais qui ne coche pas la case "intervalle fermé" me semble assez incohérent.
Tout à fait d'accord.

Citation :
On est dans le rubrique "Supérieur" du forum. Je trouverais curieux qu'un enseignant du supérieur ne mette pas [0,+\infty[ dans les intervalles fermés.
J'ai dit "Lycée", mais il me semble que ce que je précisais vaut aussi pour les L1/sup voire L2/spé; avant de la "vraie" topologie quoi...

Citation :
J'ai parcouru les programmes de mathématiques du lycée. J'ai remarqué qu'ils se gardent bien de parler d'intervalle ouvert ou d'intervalle fermé.
Effectivement, le BO n'entre pas dans ces détails. J'aurais tendance à penser qu'ils se gardent de le dire sur le papier, mais j'ai beaucoup de mal à imaginer qu'ils se gardent aussi de le dire dans la pratique, la notion étant plutôt "intuitive".

ça vaut ce que ça vaut, mais voici un exemple de cours où la distinction est faite

Posté par
WilliamM007
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 17:18

Bonjour.

C'est loin d'être le seul exemple où le vocabulaire semble incohérent. Un corps muni d'une relation d'ordre n'est pas forcément un corps ordonné, un espace vectoriel muni d'une topologie n'est pas forcément un espace vectoriel topologique, etc.

Et que dire des ensembles séparés, qui ne sont pas séparables, c'est un comble non ? Et les ensembles finis, qui ne sont pas dénombrables ?

Personnellement, quand il y a ambiguïté, j'essaie de la lever. Par exemple ici je parlerais soit de segment, soit d'intervalle topologiquement fermé.

Posté par
GBZM
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 17:22

Je ne dirais certainement pas que la distinction est clairement faite dans les cas des intervalles non bornés ...

J'ai enseigné il y a longtemps les cours d'analyse en ce qui s'appelait à l'époque DEUG. J'appelais "segments" les intervalles fermés bornés non vides (segments emboîtés, toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes). Il ne me serait jamais venu à l'idée de dire que [0,+\infty[ n'est pas un intervalle fermé.

Revenons maintenant à la question de Bouri.
Bouri pose par exemple des questions sur la convergence uniforme des suites de fonctions. Il a sans aucun doute vu le théorème que l'image d'un segment par une fonction continue est un segment. Si on lui demande
"un exemple de fonction f continue, I intervalle fermé tel que f(I) ne soit pas fermé"
franchement, vous croyez que dans cette question "intervalle fermé" doit être compris au sens de "segment" ?

Posté par
jsvdb
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 18:06

GBZM @ 11-09-2021 à 17:22

"un exemple de fonction f continue, I intervalle fermé tel que f(I) ne soit pas fermé"
franchement, vous croyez que dans cette question "intervalle fermé" doit être compris au sens de "segment" ?

Cette distinction est d'autant plus inutile ici que dans IR, segment et intervalle sont les mêmes ensembles (ce me semble !)

Posté par
WilliamM007
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 18:22

Pour moi R est un intervalle, mais pas un segment.

Posté par
GBZM
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 18:48

@jsvdb : il n'est pas défendu de lire les messages en entier avant d'y répondre

GBZM @ 11-09-2021 à 17:22

J'appelais "segments" les intervalles fermés bornés non vides (segments emboîtés, toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes). Il ne me serait jamais venu à l'idée de dire que [0,+\infty[ n'est pas un intervalle fermé.ntervalle fermé" doit être compris au sens de "segment" ?


Il me semble clair que Bouri a dû voir dans son cours que l'image d'un intervalle fermé borné par une fonction continue est un intervalle fermé borné,  et qu'on lui demande si ça reste vrai quand on remplace "intervalle fermé borné" par "intervalle fermé" tout court, autrement dit non forcément borné.

Posté par
jsvdb
re : f continue I fermé et f(I) non fermé 11-09-21 à 18:58

Ok.
Je ne souhaite pas continuer dans ce débat qui peut s'enliser sur la distinction "segment"/"intervalle".
J'ai déjà eu ce débat sur l'île et ma foi, ça peut devenir lourd.
Je vous souhaite une bonne soirée



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