Bonjour à tous,
Je cherche un exemple de fonction f continue, I intervalle fermé tel que f(I) ne soit pas fermé.
Je ne vois pas trop comment cela est possible sachant que f est continue..
Merci d'avance et bonne journée
Bonjour,
Dans quel contexte cherches-tu cet exemple ?
Quelle est l'image d'un intervalle fermé par une fonction continue ?
Bonjour,
il est tout-à-fait possible que l'image directe, par une fonction continue, d'un intervalle fermé (resp. ouvert), ne soit pas fermé (resp. ouvert).
Si une telle fonction vérifie que l'image d'un ouvert quelconque (resp. fermé quelconque) est un ouvert (resp. un fermé), on dit que la fonction est ouverte (resp. fermée).
L'exemple type est la fonction arctan sur IR.
En effet, c'est impossible... Toute fonction f : [a,b] est bornée et atteint ses bornes
C'est bien cela ?
Merci et bonne après-midi
@bouri
Oui, c'est cela.
@jsvdb,
L'image d'un intervalle fermé par une fonction continue est un intervalle fermé.
Quant à l'exemple de arctan sur , il ne prouve rien puisque l'image de par cette fonction est un intervalle ouvert.
Par contre, la fonction carré ou la fonction sinus...
Ce que tu dis est vrai, mais n'englobe pas tous les cas.
La fonction arctan répond à ce que tu demandes : l'image du fermé IR est l'ouvert ]-pi/2; pi/2[ qui est ouvert.
Bonjour,
Un intervalle fermé est-il forcément borné ?
Cette bizarrerie ferait partie des programmes du secondaire ?
Je sens que le débat sur les intervalles est relancé.
Effectivement, Wikipédia donne bien IR comme un intervalle à la fois ouvert et fermé, ce que je faisais inconsciemment aussi comme M Jourdain avec la prose; considérer IR comme un intervalle fermé est loin d'être incongru.
Oui, c'est ce qu'on apprend classiquement :
- on appelle intervalles ouverts, les objets de la forme ]a,b[
- on appelle intervalles fermés, les objets de la forme [a,b]
Mais ici, les dénominations de ouverts et fermés n'ont effectivement pas de contexte topologique.
C'est une fois qu'on fait de la topologie et qu'on met sur IR la topologie dont une une base est donnée pas les intervalles ouverts, que les intervalles ]a,b[ deviennent des ouverts au sens topologique (et que les [a,b] deviennent des fermés). A ce titre, IR devient donc un intervalle à la fois ouvert et fermé.
Il y a donc trois types d'intervalles fermés qui peuvent être invoqués pour répondre positivement à bouri : IR, les [a;+inf[ et les ]-inf;b] (où a et b sont réels)
J'ai parcouru les programmes de mathématiques du lycée. J'ai remarqué qu'ils se gardent bien de parler d'intervalle ouvert ou d'intervalle fermé.
On est dans le rubrique "Supérieur" du forum. Je trouverais curieux qu'un enseignant du supérieur ne mette pas dans les intervalles fermés.
Bien sûr tout ça n'est qu'une question de définition. Mais il vaut mieux avoir des définitions cohérentes. Et avoir une partie de qui coche la case "intervalles", qui coche la case "fermé" , mais qui ne coche pas la case "intervalle fermé" me semble assez incohérent.
Bonjour.
C'est loin d'être le seul exemple où le vocabulaire semble incohérent. Un corps muni d'une relation d'ordre n'est pas forcément un corps ordonné, un espace vectoriel muni d'une topologie n'est pas forcément un espace vectoriel topologique, etc.
Et que dire des ensembles séparés, qui ne sont pas séparables, c'est un comble non ? Et les ensembles finis, qui ne sont pas dénombrables ?
Personnellement, quand il y a ambiguïté, j'essaie de la lever. Par exemple ici je parlerais soit de segment, soit d'intervalle topologiquement fermé.
Je ne dirais certainement pas que la distinction est clairement faite dans les cas des intervalles non bornés ...
J'ai enseigné il y a longtemps les cours d'analyse en ce qui s'appelait à l'époque DEUG. J'appelais "segments" les intervalles fermés bornés non vides (segments emboîtés, toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes). Il ne me serait jamais venu à l'idée de dire que n'est pas un intervalle fermé.
Revenons maintenant à la question de Bouri.
Bouri pose par exemple des questions sur la convergence uniforme des suites de fonctions. Il a sans aucun doute vu le théorème que l'image d'un segment par une fonction continue est un segment. Si on lui demande
"un exemple de fonction f continue, I intervalle fermé tel que f(I) ne soit pas fermé"
franchement, vous croyez que dans cette question "intervalle fermé" doit être compris au sens de "segment" ?
@jsvdb : il n'est pas défendu de lire les messages en entier avant d'y répondre
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