Bonjour,

"une généralisation d'Euclide", c'est comme si tu disais une généralisation de Dupond

Euclide a fait de nombreux travaux, dont certains même sur les triplets Pythagoriciens ...

sans préciser ce qu'est "Euclide" dans ce contexte (l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD ?? je ne vois pas le rapport, une autre propriété d'Euclide ? les droites parallèles ne se coupent pas ? je ne vois pas le rapport non plus)
et donc sans cette précision, il est impossible de répondre valablement à la question a)

b) facile : tu développes (ae+db)² + (ad-be)² ...

c) ben tu prends par exemple le célèbre (3,4,5), deux fois

(et en fait le nouveau triplet c'est avec ad-be en valeur absolue)
puis ce dernier avec un nouveau (3,4,5)
etc

mais bof pas très efficace comme méthode : il y a plein de trous dans la liste des triplets

merci beaucoup mathafou de ton aide precise

pour la b j'ai oublié de dire qu'il fallait aussi développer (cf)² = c²f² = (a²+b²)(d²+e²)

Bonjour, j ai exactement le même exercice pour Lundi et je crois que je peux donner des précisions pour le a)... Le professeur parle de la méthode d'Euclide suivante : x=2uv; y=u(carré)-v(carré) ; z=u(carré)+v(carré) .
Je ne comprend pas bien la question b), pourrais-tu l'expliquer, s'il te plait ?

pour la b) c'est facile, il suffit de faire la formule écrite dans l'exercice en remplaçant les 3 nombres pas des triplets pythagoriciens :

par exemple tu remplace (a;b;c) par (3;4;5) et (d;e;f) par (7;24;25)
tu fais ensuite le calcule 3*24+7*4 ; 21-(4*24) ; 125

se qui nous fais (100 ; -75 ; 125)

au passage tu es dans quel collège ? c'est possible que l'on soit dans le meme

lycee pardon

c toujours Camille ... XP

Mais en remplaçant directement les lettres par des nombres dans la b), tu fais la question c) et puis les triplets pythagoriciens expriment des longueurs, je crois, donc nous ne sommes pas censé trouver , des nombre négatifs, non ?

c'est bien pour ça que j'ai précisé "valeur absolue"

parce que (-x)² = x²

le triplet calculé "directement" (100 ; -75 ; 125) est en fait le triplet (100 ; 75 ; 125)

ceci dit comme ce triplet est en fait 25 fois le triplet (4, 3, 5) il n'apporte rien du tout de "nouveau"

reprenons la b, c'est le calcul symbolique.
on ne remplace rien du tout par rien
a,b,c,d,e,f c'est a,b,c,d,e,f écrits a,b,c,d,e,f et c'est tout

il s'agit de comparer le développement de
(ae+bd)² + (ad-be)² (le faire ce développement !!!!!)
et de (cf)² qui puisque a² + b² = c² et d² +e² = f² est (a²+b²)(c²+d²) (à développer aussi !!!)

si c'est la même chose après simplification, c'est bon on a démontré que
[(ae+bd), |ad-be|, cf] est un triplet Pythagoricien et cette question b est finie.
sinon c'est ... qu'on a fait un erreur de calcul dans les développements.... (parce que la propriété est réellement vraie


ensuite pour la c comme dit on part de (3, 4, 5) et du même (3, 4, 5)
"combinés" par la formule cela donne le triplet :

(3*4+3*4, |3*3-4*4|, 25) c'est à dire (24, 7, 25)

si on combine ce dernier triplet avec un autre (3, 4, 5), on obtient :
((24*4+3*7), |24*3 - 7*4|, 125) c'est à dire (117, 44, 125)

etc

il faut être "maladroit" pour mélanger les formules et combiner (3, 4, 5) avec (7, 24, 25) au lieu de (24, 7, 25), alors que l'étape précédente a justement donné (24, 7, 25) et pas du tout (7, 24, 25)
...

cette méthode ne donne que des triplets dont l'hypoténuse est une puissance de 5

on peut combiner avec un autre triplet "de base" (5, 12, 13) par exemple pour avoir un peu plus de diversité, mais on obtiendra ainsi que des triplets dont l'hypoténuse est de la forme 5ⁿ13^m

etc (comme je le disais, de larges trous dans la liste des triplets obtenus par cette formule)

enfin la question a s'éclaire enfin en disant que le "Euclide" dont on parle est la "formule d'Euclide" qui donne tous les triplets "à peu près primitifs" (la citer comme "Euclide" sans la donner est une aberration)
c'est à dire pour lesquels le PGCD des côtés est 1
"a peu près" car cette formule d'Euclide donne aussi des triplets non primitifs, mébon...
et elle ne donne même pas tous les triplets tout court car le triplet (9, 12, 15) (le triple de (3, 4, 5)) ne peut pas être obtenu par cette formule, vu qu'il n'existe aucuns nombres entiers u et v tels que u² + v² = 15

quant à la question réellement posée dans cet exo sur la question a, c'est du baratin qui n'est que dans la tête du prof qui a posé la question : impossible de savoir ce qu'il entendait par là comme "extension" vu que les formules n'ont aucun rapport apparent ...

on peut imaginer que en combinant le triplet (3, 4, 5) avec le "triplet" (0, 3, 3) (!!) on obtient :
((3*3 + 4*0), |3*0-4,3|, 3*5) = (9, 12, 15)
justement le triplet qu'on n'arrivait pas à obtenir par la formule d'Euclide

et donc "étend" cette formule à des triplets qu'on ne trouvait pas

mais bof (très bof) parce qu'il suffisait en fait d'étendre la formule d'Euclide en
x = m(u² - v²)
y = 2muv
z = m(u² + v²) pour les avoir tous