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Factorielle !
Bonsoir à tous le monde !
J'ai 2 exo que je n'arrive pas à faire :
2) Prouver par récurrence :
Pour tout n de N* 1! x 1 + ...... + n! x n = (n+1)! - 1
Je connais le raisonnement par récurrence mais je n'y arrive vraiment pas merci de votre aide.
3) a: Calculer pour 0<égal n <égal 9, les nombres (n+1)! et 2^n. Que peut on conjecturer?
b: Prouver par récurrence que l'on a : pour tout n de N (n+1)! >égal 2^n.
c: En déduire, par récurrence : pour tout n de N 1/0! + 1/1! + .... + 1/n! <égal 3-(2/2^n).
Merci pour votre aide. J'aimerai bien avoir des raisonnements "modèles" pour mon DS.
Bonjour
l'idée pour l'hérédité
On suppose que: 1! x 1 + ...... + n! x n = (n+1)! - 1
1! x 1 + ...... + n! x n + (n+1)! x (n+1)
= (n+1)! - 1 + (n+1)! x (n+1)
= (n+1)! [1 + (n+1)] - 1
= (n+1)! (n+2) - 1
= (n+2)! - 1
Bonsoir,
2) Soit f(n) l'expression 1!*1+2!*2+ ... +n!*n
Supposons que f(n)=(n+1)!-1
Posons g(n)= (n+1)!-1
Calculons f(n+1)=f(n)+(n+1)!*(n+1)
Soit f(n+1)=(n+1)!-1+(n+1)!*(n+1)
Càd f(n+1)=(n+1)!*(1+n+1)-1
En conclusion f(n+1)=(n+1!)*(n+2)-1=(n+2)!-1
Donc si f(n)= g(n) est vraie, alors f(n+1)=g(n+1) est aussi vraie
Puisque ceci est vrai pour n=1 et n=2, alors f(n)=g(n) est vraie pour tout n entier naturel non nul.
3)a/ Je suppose que tu l'as fait
Ce qu'on peut conjecturer est l'inégalité qu'on te demande de démontrer
par récurrence en 3)b/
3) b/ Supposons que (n+1)!
2n
Calculons (n+2)!=(n+1)!*(n+2)
Donc (n+2)!2n*(n+2)
d'où (n+2)!(2n*n)+(2n*2)
càd (n+2)!(2n*n)+(2n+1)
Comme (2n*n)>0 alors (n+2)!2n+1
Donc l'expression est aussi vraie pour n+1
Ainsi, étant vraie pour les n non nuls <9, elle est vraie pour tout n entier naturel non nul.
3)c/ Soit h(n)=1/0!+1/1!+ ... +1/n!
Soit j(n)=3-2/2n
On suppose que h(n)
j(n) est vraie
Calculons h(n+1)=h(n)+1/(n+1)!
Puisque (n+1)!2n, alors 1/(n+1)!2n
donc h(n+1)=h(n)+1/(n+1)!h(n)+1/2n
j(n)+1/2n
Comme j(n)+1/2n=3-2/2n+1/2n=3-1/2n=3-2/2n+1, alors h(n+1)3-2/2n+1
Bon courage pour mettre la fin en forme
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