Niveau Licence-pas de math

Factorielle élevée au carré

Posté par
DeVinci 19-10-21 à 14:46

Bonjour,

Idiot, mais j'ai du mal à saisir la différence entre (n!)² et (n²)!
Même en essayant de développer tout ça pour essayer d'y voir plus clair, je n'arrive pas à trouver le raisonnement qui permet de dire que le produit des (1/k²) allant de 1 à n vaut [1/(n!)²] et non pas [1/(n²)!]

Merci d'avance.

Posté par re : Factorielle élevée au carré 19-10-21 à 14:49

Hello !

n = 3

n!² = 3!² = 6² = 36
(n²)! = (3²)! = 9! = 362880

Posté par re : Factorielle élevée au carré 19-10-21 à 16:08

$(n!)^2 = (1\times 2\times \cdots\times (n-1)\times n)^2 = 1^2 \times 2^2 \times\cdots\times (n-1)^2 \times n^2$

donc $\dfrac1{(n!)^2} = \dfrac1{1^2 \times 2^2 \times\cdots\times (n-1)^2 \times n^2} = \prod_{k=1}^n \dfrac1{k^2}$

Alors que $(n^2)! = 1\times 2\times \cdots\times (n^2-1)\times n^2$

donc $\dfrac1{(n^2)!} = \prod_{k=1}^{n^2} \dfrac1{k}$

Posté par re : Factorielle élevée au carré 19-10-21 à 17:32

Bonjour,
J'en rajoute une couche avec n = 5 :

(5²)! = 25! = 2524........321

(5!)² = (54321)² = 5²4²3²2²1² = 2516941

Posté par re : Factorielle élevée au carré 19-10-21 à 19:27

Et encore une autre

La formule de Stirling dit $n! \sim \sqrt{2\pi n}n^ne^{-n}$
Alors en passant cette équivalence au carré on a directement $(n!)^2 \sim 2\pi n^{2n+1}e^{-2n}$

Mais a-t-on aussi $(n^2)! \sim \sqrt{2\pi} n^{2n^2+1}e^{-n^2}$ ? (en remplaçant n son carré avant de prendre un équivalent) ?

Pour le savoir, méthode de Laplace :

$(n^2)! = \Gamma(n^2+1) = \int_0^\infty x^{n^2}e^{-x}dx$

-> On fait le changement de variable u = x/n^2
-> On fait apparaitre $\int_0^\infty e^{n^2f(u)}du$ où f est la fonction $u\mapsto \ln(u)-u$
-> DL de f autour de 1 qui est l'unique point où la dérivée s'annule. La dérivée seconde y est -1 : maximum global.
-> Remplacement minutieux de f par son DL, le blabla habituel pour calculer l'intégrale d'une gaussienne
-> Equivalent cherché
-> Comparer à celui conjecturé