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Factorielles

Posté par Profil Ramanujan 05-04-20 à 02:37

Bonsoir,

Déterminer le nombre de 0 à la fin de 23!.

Dois-je commencer par la décomposition en facteurs premiers de 23! ?

Posté par
Zormuchere : Factorielles 05-04-20 à 02:48

Bonsoir

oui, ça peut servir. Sinon, on peut se contenter de relever uniquement les occurrences des multiples 2 et 5

Posté par Profil Ramanujanre : Factorielles 05-04-20 à 03:01

Je trouve 11 multiples de 2 et 4 multiples de 5.

Donc 23! est un multiple de 2^11 \times 5^4 = 1 280 000

La réponse est 4 zéros ?

Posté par Profil Ramanujanre : Factorielles 05-04-20 à 03:02

Je voulais dire 2 puissance 11.

Posté par
Zormuchere : Factorielles 05-04-20 à 08:24

Le nombre de zéros est la plus grande puissance p telle que 23! soit multiple de 10^p = 2^p*5^p

Posté par
alb12re : Factorielles 05-04-20 à 09:27

salut,

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 05-04-20 à 09:40

le sujet a déjà été abordé sur ce forum
et détaillé... je ne retrouve pas le post concerné mais une personne plus douée le retrouvera peut-être

Posté par
malou Webmasterre : Factorielles 05-04-20 à 09:47

bah plein de choses...ça peut-être
Combien de Zéro a la fin d un factoriel donné
edit >
Factorielle 100!
re edit >
exo 20 du pdf cité par Glapion Factorielle: Décomposition en facteurs premiers

Posté par Profil Ramanujanre : Factorielles 05-04-20 à 09:54

Zormuche @ 05-04-2020 à 08:24

Le nombre de zéros est la plus grande puissance p telle que 23! soit multiple de 10^p = 2^p*5^p


Ok merci.  Vu sous cet angle ça parait simple.

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 05-04-20 à 09:58

j'ai retrouvé ça : factoriel

et j'y donne la formule générale

Posté par Profil Ramanujanre : Factorielles 05-04-20 à 10:03

Pas compris d'où sort votre formule.

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 05-04-20 à 10:04

l'idée est qu'il y a beaucoup plus de facteurs 2 dans les nombres de 1 à n, que de facteurs 5.

il suffit donc de compter les facteurs 5 et chacun d'entre eux trouvera facilement un facteur 2 pour donner un "0" à la fin de n!

pour dénombrer les facteurs 5 il suffit de :

compter le nombre de multiples de 5

d'ajouter le nombre de multiple de 25 (qui avaient déjà été compté une fois dans les multiples de 5, comme ça ils seront bien comptés deux fois)

d'ajouter le nombre de multiples de 625 (qui avaient déjà été compté une fois dans les multiples de 5 et une fois dans les multiples de 25, comme ça ils seront bien comptés trois fois)

etc

jusqu'à ce que la puissance de 5 dépasse n

d'où la formule que je donne dans le lien de 09:58

Posté par
malou Webmasterre : Factorielles 05-04-20 à 10:09

matheuxmatou, tu as vu 9h47 ?

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 05-04-20 à 10:17

malou oui, merci...

je cherchais celui où j'étais intervenu, mais j'ai beaucoup de mal à utiliser la fonction "rechercher" du site

Posté par
malou Webmasterre : Factorielles 05-04-20 à 10:18

matheuxmatou @ 05-04-2020 à 10:17

malou oui, merci...

je cherchais celui où j'étais intervenu, mais j'ai beaucoup de mal à utiliser la fonction "rechercher" du site

normal, elle fonctionne pas !
T_P doit nous remettre un jour (!) quelque chose sur pieds...

Posté par
malou Webmasterre : Factorielles 05-04-20 à 10:21

> matheuxmatou
tu te mets dans goo....(puisque tu savais être intervenu, ce que je ne savais pas, moi)
et tu tapes "ile maths matheuxmatou factorielle nombre zéros" et tu sors tout de suite

Posté par
alb12re : Factorielles 05-04-20 à 10:36

c'est le debut du tracking

Posté par
malou Webmasterre : Factorielles 05-04-20 à 10:39

oui ! mais c'est pas nouveau ! le moteur de recherche (qui ne fonctionne plus actuellement) mis en place par jbrgds était celui-là ! il passait par goog...

Posté par
alb12re : Factorielles 05-04-20 à 10:48

au debut on trouve ça tres bien puis petit à petit on accepte de plus en plus de traçage,
et on finit par parler chinois ou taiwanais

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 05-04-20 à 11:15

malou @ 05-04-2020 à 10:21

> matheuxmatou
tu te mets dans goo....(puisque tu savais être intervenu, ce que je ne savais pas, moi)
et tu tapes "ile maths matheuxmatou factorielle nombre zéros" et tu sors tout de suite


c'est ce que j'ai fait

Posté par Profil Ramanujanre : Factorielles 05-04-20 à 11:35

matheuxmatou @ 05-04-2020 à 10:04

l'idée est qu'il y a beaucoup plus de facteurs 2 dans les nombres de 1 à n, que de facteurs 5.

il suffit donc de compter les facteurs 5 et chacun d'entre eux trouvera facilement un facteur 2 pour donner un "0" à la fin de n!

pour dénombrer les facteurs 5 il suffit de :

compter le nombre de multiples de 5

d'ajouter le nombre de multiple de 25 (qui avaient déjà été compté une fois dans les multiples de 5, comme ça ils seront bien comptés deux fois)

d'ajouter le nombre de multiples de 625 (qui avaient déjà été compté une fois dans les multiples de 5 et une fois dans les multiples de 25, comme ça ils seront bien comptés trois fois)

etc

jusqu'à ce que la puissance de 5 dépasse n

d'où la formule que je donne dans le lien de 09:58


Pas compris.

Posté par
lafol Moderateurre : Factorielles 05-04-20 à 11:43

Bonjour
Ou c'est de la mauvaise foi ou on ne se trompe pas quand on te répète que sans maîtriser les outils du collège et du lycée il est illusoire de vouloir travailler, surtout seul, un programme post bac

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 05-04-20 à 11:55

Ramanujan

ben réfléchis et essaye sur des petits nombres !

Posté par
flightre : Factorielles 05-04-20 à 13:44

salut

je suis arrivée à cette fomule par "bricolage" , elle a l'air de marcher , soit N le nombre dont on veut trouver le nombre de "0" figurants à la fin de sa factorielle , alors  si N est un multiple de 25  -->Nbr de "0" = E(N/26)*6
sinon on cherche le premier multiple de 25 inférieur à N , soit M ce nombre et on cherche le premier multiple de 5 inférieur à N soit Q ce nombre , alors  
Nbr de "0" = E(M/25)*6 + (Q -M)/5 .

exemple ; si N = 87 le nombre de "0" à la fin de 87! sera  :
Nbr de "0"87!= E(75/25)*6 + (85-75)/5 = 18+2 = 20  il y a aura donc 20 "0"
à la fin de 87!

si N= 25  alors , Nbr de "0"25!= E(25/25)*6 =6 , il y aura donc 6 "0" à la fin de 25!

si N = 64 alors  , Nbr de "0"64!= E(50/25)*6 + (60-50)/5 = 12+2 = 14  il y a aura donc 14 "0"à la fin de 64!


sauf erreur ...pour ces quelques nombre ca à l'air de marcher

si N = 23 alors  , Nbr de "0"23!= E(0/25)*6 + (20-0)/5 = 0+4 = 4  il y a aura donc 4 "0"à la fin de 23![/b]

si N = 75 alors  , Nbr de "0"75!= E(75/25)*6 =18 , il y aura donc 18 "0" à la fin de 75!

Posté par
flightre : Factorielles 05-04-20 à 13:47

..un dernier pour finir

si N = 100 alors  Nbr "0" à la fin de 100! = E(100/25)*6 = 24

Posté par
alb12re : Factorielles 05-04-20 à 14:46

100 n'est-il pas un multiple de 25 ?

Posté par
alb12re : Factorielles 05-04-20 à 15:36

Voici un exercice que l'on donne au lycee Algorithme de liste les valuations p-adiques d'un entier naturel
Une implementation en Xcas 


fonction Valuation_p_adique(n)
  var P,tab,j,k;
  tab:=[];P:=[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29];
  pour j de 0 jusque 9 faire
    k:=0;
    tantque irem(n,P[j]^k)==0 faire
      k:=k+1;
    ftantque
    tab.append([P[j],k-1]);
  fpour
  retourne tab
ffonction:;

Par exemple Valuation_p_adique(100!) renvoie:

\\ \left[\begin{array}{cc}2&97\\3&48\\5&24\\7&16\\11&9\\13&7\\17&5\\19&5\\23&4\\29&3\end{array}\right] \\

On verifie directement en tapant:
ifactor(100!)
qui renvoie la decomposition:

2^97*3^48*5^24*7^16*11^9*13^7*17^5*19^5*23^4*29^3*31^3*37^2*41^2*43^2*47^2*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97

soit:

\\ 97\cdot 89\cdot 83\cdot 79\cdot 73\cdot 71\cdot 67\cdot 61\cdot 59\cdot 53\cdot 2^{97}\cdot 3^{48}\cdot 5^{24}\cdot 7^{16}\cdot 11^{9}\cdot 13^{7}\cdot 17^{5}\cdot 19^{5}\cdot 23^{4}\cdot 29^{3}\cdot 31^{3}\cdot 37^{2}\cdot 41^{2}\cdot 43^{2}\cdot 47^{2} \\ \\

Posté par
lafol Moderateurre : Factorielles 05-04-20 à 16:11

flight j'ai bien peur que tes formules ne marchent pas au delà de 125

Posté par
alb12re : Factorielles 05-04-20 à 16:13

pour 100 c'est faux

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 05-04-20 à 18:30

je l'avais donnée dans un autre post la formule :

le nombre de "0" à la fin de n! vaut


\sum_{k=1}^{N} E\left( \dfrac{n}{5^k} \right)

avec N=E(log_5(n))

Posté par
flightre : Factorielles 05-04-20 à 18:57

si pour 100 ca marche  E(100/25)*6= 24 verfié aussi avec la formule de matheuxmatou
qui donne sauf erreur E(100/5)+E(100/5²)= 20+4=24 .... apres pour 125 je vais voir pour la remarque à Lafol

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 05-04-20 à 19:00

de toutes façons, une formule ça se démontre

Posté par
alb12re : Factorielles 05-04-20 à 19:05

@flight
voilà ce que tu as ecrit "Nbr de "0" = E(N/26)*6"

Posté par
flightre : Factorielles 05-04-20 à 23:44

merci alb 12 ... le 26 est une erreur d'ecriture  

Posté par Profil Ramanujanre : Factorielles 06-04-20 à 01:13

lafol @ 05-04-2020 à 11:43

Bonjour
Ou c'est de la mauvaise foi ou on ne se trompe pas quand on te répète que sans maîtriser les outils du collège et du lycée il est illusoire de vouloir travailler, surtout seul, un programme post bac


Quel rapport ? L'explication de Matheux est incompréhensible .

Le programme post bac que je travaille de prépa je l'ai déjà étudié quand j'étais étudiant.
Sauf quelques nouveautés comme les probas.

Posté par
alb12re : Factorielles 06-04-20 à 09:01

"L'explication de Matheux est incompréhensible "
Par experience (pour l'avoir faite en premiere) c'est la plus claire que je connaisse.
Ecris 100! en detail et compte comme le fait matheuxmatou, le declic va se faire.

Posté par Profil Ramanujanre : Factorielles 06-04-20 à 09:11

@Alb en tout cas votre code est intéressant. Xcas est un langage de programmation ?

5!=120 = 2^3 \times 3 \times 5 (un seul 0)
10!=3628800=2^6 \times 3^2 \times 5^2

Il semble que le nombre de 0 soit lié à la valuation 5-adique.

Le nombre de 0 n'est pas v_5(n!) ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Factorielles 06-04-20 à 09:19

Bonjour,
Quelque chose m'échappe dans

Citation :
pour dénombrer les facteurs 5 il suffit de :

compter le nombre de multiples de 5

d'ajouter le nombre de multiple de 25 (qui avaient déjà été compté une fois dans les multiples de 5, comme ça ils seront bien comptés deux fois)

d'ajouter le nombre de multiples de 625 (qui avaient déjà été compté une fois dans les multiples de 5 et une fois dans les multiples de 25, comme ça ils seront bien comptés trois fois)

N'y aurait-il pas un oubli pour 125 ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Factorielles 06-04-20 à 09:19

Ou une coquille : 125 au lieu de 625 ?

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 06-04-20 à 09:21

oui ... c'est 125 ... merci Sylvieg

j'ai sauté une puissance !

Posté par
alb12re : Factorielles 06-04-20 à 09:30

Quelle belle co(q)uille !

Posté par
alb12re : Factorielles 06-04-20 à 09:33

@Ramanujan
Xcas est un logiciel de calcul formel libre et gratuit.
Indispensable si l'on veut s'assurer que ses calculs sont corrects sans avoir à poster à tort et à travers.

Posté par
carpediemre : Factorielles 06-04-20 à 09:42

Ramanujan @ 06-04-2020 à 01:13

lafol @ 05-04-2020 à 11:43

Bonjour
Ou c'est de la mauvaise foi ou on ne se trompe pas quand on te répète que sans maîtriser les outils du collège et du lycée il est illusoire de vouloir travailler, surtout seul, un programme post bac


Quel rapport ? L'explication de Matheux est incompréhensible .

Le programme post bac que je travaille de prépa je l'ai déjà étudié quand j'étais étudiant. non tu as (peut-être) fait une prépa ... mais qu'as-tu fait en prépa ?
Sauf quelques nouveautés comme les probas.
MDR

matheuxmatou @ 05-04-2020 à 18:30

le nombre de "0" à la fin de n! vaut

\sum_{k=1}^{N} E\left( \dfrac{n}{5^k} \right)

avec N=E(log_5(n))
n'utilise que des objets vus au lycée ... et toi tu nous sors des gors mots comme
Ramanujan @ 06-04-2020 à 09:11

Il semble que le nombre de 0 soit lié à la valuation 5-adique.

Le nombre de 0 n'est pas v_5(n!) ?


tu peux aussi écrire n! en base 5 : n! = \sum a_k 5^k avec 0 \le a_k < 5 et faire le lien entre ces coefficients et la formule de matheuxmatou

Posté par
carpediemre : Factorielles 06-04-20 à 09:47

pardon: n et pas n ! ...

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 06-04-20 à 10:11

donc rectification de la co(q)uille :

matheuxmatou @ 05-04-2020 à 10:04

l'idée est qu'il y a beaucoup plus de facteurs 2 dans les nombres de 1 à n, que de facteurs 5.

il suffit donc de compter les facteurs 5 et chacun d'entre eux trouvera facilement un facteur 2 pour donner un "0" à la fin de n!

pour dénombrer les facteurs 5 il suffit de :

compter le nombre de multiples de 5

d'ajouter le nombre de multiple de 5² =25 (qui avaient déjà été compté une fois dans les multiples de 5, comme ça ils seront bien comptés deux fois)

d'ajouter le nombre de multiples de 53=125 (qui avaient déjà été compté une fois dans les multiples de 5 et une fois dans les multiples de 25, comme ça ils seront bien comptés trois fois)

d'ajouter le nombre de multiples de54 =625 (qui avaient déjà été compté une fois dans les multiples de 5, une fois dans les multiples de 25 et une fois dans les multiples de 125, comme ça ils seront bien comptés quatre fois)

etc

jusqu'à ce que la puissance de 5 dépasse n

d'où la formule que je donne dans le lien de 09:58


mais bon, les matheux avaient rectifié

Posté par
lafol Moderateurre : Factorielles 06-04-20 à 11:11

il me semble que le texte de matheuxmatou (quitte à expliquer que n! désigne 1*2*3*...*n) est largement compréhensible dès la fin du collège, voire avant, donc prétendre qu'au motif qu'on a raté une prépa (vu ce qui en reste je considère qu'elle a été ratée, même si sur un malentendu ou grâce à des bons résultats en français ou langue vivante il y a eu une admission à la clé), si on ne comprend pas c'est que c'est trop difficile, c'est juste étaler à la vue de tous qu'en plus d'être prétentieux, on n'a pas l'intelligence d'un gosse normalement constitué de quinze ans... ou une mauvaise foi hors normes !

Posté par
alb12re : Factorielles 06-04-20 à 11:20

Tirer sur une ambulance n'est pas de mise en ce moment.

Posté par
carpediemre : Factorielles 06-04-20 à 11:43

alb12 : ben si tu veux le pb c'est que :

que Ramanujan vienne nous poser 10 fois, 100 fois, ..., les mêmes questions et nous répéter des je n'ai pas compris (et sur différents sites) ne me gène pas : c'est mon boulot (et mon boulet !!! ) en tant qu'enseignant de répéter ...

mais en vu d'enseigner les mathématiques ... alors qu'il ne possède qu'à peine le niveau lycée ...

à un moment faut être raisonnable et se tourner vers autre chose ... et qu'il continue à faire des mathématiques pour le plaisir ... mais pas pour dézinguer des élèves ...

Posté par
lafol Moderateurre : Factorielles 06-04-20 à 11:45

surtout quand il se permet d'être arrogant avec des gens qu'il prétend aider sur d'autres sujets....

Posté par
matheuxmatoure : Factorielles 06-04-20 à 11:52

ou d'être à ce point prétentieux de prétendre que tout le monde comprend quand c'est lui qui explique

Exercice niveau 1er S pour ramanujan

vanitas vanitatum ... !

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