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Niveau quatrième
factorisation
Posté par (invité)
x à la 4 +1
la réponse est (x au carré+x racine de 2 +1)(x au carré-x racine de
2+1)
comment?
x^4+1 = 0
(x^4+1) = (x²+ax+b)(x²+cx+d)
(x^4+1) = x^4 + cx³+dx²+ax³+acx²+adx+bx²+bcx+bd
(x^4+1) = x^4 +x³(c+a)+x²(d+ac+b)+x(ad+bc)+bd
En identifiant les 2 membres ->
c + a = 0
d + ac + b = 0
ad + bc = 0
bd = 1
a = -c
d - c² + b = 0
-cd + bc = 0
bd = 1
a = -c
d - c² + b = 0
-d + b = 0 -> b = d
bd = 1
b² = 1 -> b = +/-1
par d - c² + b = 0 -> 2b = c² -> b > 0
b = d = 1; c = +/-V2 -> a = -/+ V2
Et donc:
a^4 + 1 = (x² + x.V2 + 1)(x² - x.V2 + 1)
----
Sauf distraction.