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Factorisation d'un polynôme

Posté par
eldiablo42 14-07-09 à 19:52

Bonsoir !

J'ai le polynôme suivant :

P_n = (1-X) + X(X-1)/2 + ... +(-1)^nX( X-1)...( X-n+1)/n!

Et mon but est de le factoriser. Sans succès...

Il parait qu'en essayant pour n=1, 2 et 3 on peut trouver l'idée puis faire la preuve par récurrence. Mais je n'ai pas réussi à dénicher l'hypothèse de récurrence.

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
olive_68re : Factorisation d'un polynôme 14-07-09 à 20:05

Salut

On dirait que tu n'as pas cherché trop longtemps non plus

3$P_1=(1-X) \\ \\ P_2=(1-X)+\fr{X(X-1)}{2}=\fr{(1-X)(2-X)}{2!} \\ \\ P_3=(1-X)+\fr{X(X-1)}{2}-\fr{X(X-1)(X-2)}{6}=\fr{(1-X)(2-X)(3-X)}{3!} \\ \\ P_4=(1-X)+\fr{X(X-1)}{2}-\fr{X(X-1)(X-2)}{6}+\fr{X(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)}{24}=\fr{(1-X)(2-X)(3-X)(4-X)}{4!}

Tu ne vois pas de motif se déssiner la ??

Posté par
infophilere : Factorisation d'un polynôme 14-07-09 à 20:05

Bonsoir

Par récurrence : P_n(X)=3$ \frac{(-1)^n}{n!}\Bigprod_{k=1}^{n}(X-k)

Posté par
olive_68re : Factorisation d'un polynôme 14-07-09 à 20:07

Salut infophile

Apparement j'ai loupé qu'il y avait alternation de signe  ..

Posté par
raymond Correcteurre : Factorisation d'un polynôme 14-07-09 à 20:12

Bonsoir.

Il me semble que l'hypothèse de récurrence est :

3$\textrm P_n(X) = \fra{(-1)^n}{n!}(X-1)(X-2) . . . (X-n)

Posté par
infophilere : Factorisation d'un polynôme 14-07-09 à 20:12

Salut olive !

Non non nous avons la même expression

Posté par
infophilere : Factorisation d'un polynôme 14-07-09 à 20:14

Bonsoir raymond

Posté par
eldiablo42re : Factorisation d'un polynôme 14-07-09 à 20:15

Non il me semble que c'est la même chose.

Simplement la 1ère version est en (k-X) (qui cache l'alternance du signe du coef dominant) et la 2ème en (X-k)

En tout cas merci pour votre aide !

Posté par
raymond Correcteurre : Factorisation d'un polynôme 14-07-09 à 20:16

Bonsoir infophile.

Posté par
eldiablo42re : Factorisation d'un polynôme 14-07-09 à 20:17

Oulà j'ai loupé des épisodes pendant que je rédigeais mon message précédent ^^.

Mais tout le monde semble être d'accord finalement !

Posté par
olive_68re : Factorisation d'un polynôme 14-07-09 à 20:17

Ah oui je n'avais pas vu qu'ils se compensaient ..

Et bonsoir raymond

Posté par
raymond Correcteurre : Factorisation d'un polynôme 14-07-09 à 23:41

Bonsoir olive_68


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