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factorisation d'un polynôme complexe à la puissance n .

Posté par
med112 19-05-09 à 23:43

Salut Everyone ;D ! J'ai un nouveau problème dans lequel je n'arrive absolument pas à avancer :

Factoriser dans le polynôme (X+i)^n-(X-i)^n .

Bon courage !

Posté par
MatheuxMatoure : factorisation d'un polynôme complexe à la puissance n . 19-05-09 à 23:47

oh ben c'est tout simple !

(rebonsoir)

une fois éliminé le cas X=i
et en posant Y=(X+i)/(X-i)
les racines en Y sont les racines n-iémes de l'unité... dont il faut enlever "1" car Y=1 est impossible

(mais ton polynôme de départ est de degré (n-1)...)

MM

Posté par
raymond Correcteurre : factorisation d'un polynôme complexe à la puissance n . 08-08-10 à 07:08

Bonjour.

Posons P(X) = (X+i)n - (X-i)n = 2\textrm{n\choose 1}Xn-1 + . . . = 2niXn-1 . . .

Ce polynôme est donc de degré n - 1, avec 2ni pour coefficient dominant.

Comme i n'est pas racine, P(X) = 0 \textrm(\fra{X+i}{X-i})^n = 1 = e^{2ik\pi}

P(X) = 0 \textrm\fra{X+i}{X-i} = e^{\fra{2ik\pi}{n}} = a_k 0 k n-1

Cette dernière équation donne (ak-1)X = i(ak+1)

ak = 1 est impossible, donc obligatoirement k doit être non nul.

Finalement, pour 1 k n-1, les racines de P sont :

\textrm X_k = i\times\fra{e^{\fra{2ik\pi}{n}}+1}{e^{\fra{2ik\pi}{n}}-1} = - cotan(\fra{k\pi}{n})

D'où la factorisation, pour n 2 :

4$\textrm\fbox{(X+i)^n-(X-i)^n = 2ni\Bigprod_{k=1}^{n-1}[X+cotan(\fra{k\pi}{n})]}

Posté par
maghire : factorisation d'un polynôme complexe à la puissance n . 12-03-16 à 22:56

Petite erreur de signe :
{X}_{k} = {\color{Red} -i}\frac{{e}^{\frac{2ik\pi }{n}}+1}{{e}^{\frac{2ik\pi }{n}}-1}=\cot (\frac{k\pi}{n})

Posté par
maghire : factorisation d'un polynôme complexe à la puissance n . 12-03-16 à 22:59

{X}_{k} = <font class='rouge'>-i</font>\frac{{e}^{\frac{2ik\pi }{n}}+1}{{e}^{\frac{2ik\pi }{n}}-1}=\cot (\frac{k\pi}{n})

Posté par
maghire : factorisation d'un polynôme complexe à la puissance n . 12-03-16 à 23:02

Pouvez vous m'expliquer comment vous faites pour trouver le coefficient dominant, svp ? (Je suis désolé pour le deterrage de topic)

Posté par
Zakouskisre : factorisation d'un polynôme complexe à la puissance n . 08-02-23 à 20:40

Bonsoir braves gens,

Déjà merci, vous m'avez aider
Simple question, d'où viens l'idée d'introduire (\frac{X+i}{X-i})^n

Y'a-t-il une formule générale à connaître pour ce genre de polynômes?

PS: pour la dernière question pose le polynôme comme une différence de somme et développe le 1er terme en partant des X de plus grand degrés

Merci d'avance

Posté par
carpediemre : factorisation d'un polynôme complexe à la puissance n . 08-02-23 à 20:47

salut

Zakouskis @ 08-02-2023 à 20:40

Simple question, d'où viens l'idée d'introduire y^n = (\frac{X+i}{X-i})^n
e

tout simplement parce que y^n - 1 = \prod_0^{n - 1} (y - w^k)  où w est une racine n-ième de l'unité : par exemple w = e^{i\frac {2\pi} n}


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