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Factorisation dans C

Posté par
Tchipi 27-11-19 à 06:43

Bonjour messieurs mon problème est le suivant:
J'ai fait la factorisation du polynôme :
\left(x-i \right)^{n}-\left(x+i \right)^{n}
Et j'ai trouvé \prod_{1}^{n-1}{}\left( x-i\left(\frac{1+e^{\frac{i2kpi }{n}}}{1-e^{\frac{i2kpi}{n}}} \right)\right)
Maintenant on demande d'endeduire:
\prod_{1}^{n}{}\left(4+cotang^{2} (\frac{kpi}{2n+1}) \right)
Merci de bien vouloir maider

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Factorisation dans C 27-11-19 à 08:58

Bonjour,
Ce serait mieux de nous communiquer l'énoncé brut au mot près, sans ces "j'ai fait" ou autre "on demande".
De la 1ère ligne à la question qui te pose problème.
Tu peux ensuite dire ce que tu as fait ou tenté, et où tu bloques.

Posté par
lakere : Factorisation dans C 27-11-19 à 15:12

Bonjour,

  Deux remarques:

  

Citation :
j'ai trouvé \prod_{1}^{n-1}{}\left( x-i\left(\frac{1+e^{\frac{i2kpi }{n}}}{1-e^{\frac{i2kpi}{n}}} \right)\right)


1) Tu peux transformer -i\left(\frac{1+e^{\frac{i2kpi }{n}}}{1-e^{\frac{i2kpi}{n}}}\right) en une expression (beaucoup) plus simple qui sera bien utile pour la suite.

2) Tu as oublié un facteur multiplicatif devant ton produit indispensable pour la suite aussi.

Posté par
Tchipire : Factorisation dans C 29-11-19 à 05:32

Merci lake

Posté par
Tchipire : Factorisation dans C 29-11-19 à 06:00

Oui monsieur lake,  en utilisant votre astuce j'obtient la nouvelle factorisation: -2ni\prod_{1}^{n-1}{(x-cotg\frac{kpi}{n}) }
Comment faire pour deduire Je ne parviens pas à faire apparaitre le terme 2n+1, et je me demande bien comment faire pour que l'expression cotg au carré apparaisse..
Pardon une nouvelle astuce

Posté par
luzakre : Factorisation dans C 29-11-19 à 08:26

Bonjour !
Je pense que tu dois prendre ta formule avec 2n à la place de n puis regrouper les indices donnant la même valeur à \mathrm{cotg}(?)

Posté par
larrechre : Factorisation dans C 29-11-19 à 08:51

Bonjour luzak,

Dans le même ordre d'idées, faire n=2p+1 et regrouper les indices qui donnent des valeurs opposées aux cotangentes ?

Posté par
lakere : Factorisation dans C 29-11-19 à 08:52

Bonjour,

Si A=\prod_{k=1}^n\left(4+\text{cotan} \dfrac{k\pi}{2n+1}\right)

en remarquant que \text{cotan}^2\dfrac{k\pi}{2n+1}=\text{cotan}^2\dfrac{(2n+1-k)\pi}{2n+1}, il vient avec un changement d'indice:

  A=\prod_{k=1}^n\left(4+\text{cotan} \dfrac{k\pi}{2n+1}\right)=\prod_{j=n+1}^{2n}\left(4+\text{cotan} \dfrac{j\pi}{2n+1}\right)

Si bien que A^2=\prod_{k=1}^{2n}\left(4+\text{cotan} \dfrac{k\pi}{2n+1}\right)

Ou encore A^2=\prod_{k=1}^{2n}\left(2i+\text{cotan}\dfrac{k\pi}{2n+1}\right)\,\prod_{k=1}^{2n}\left(-2i+\text{cotan}\dfrac{k\pi}{2n+1}\right)\,

A rapprocher du résultat de la question 1).

Pour information, on trouve A=\dfrac{3^{2n+1}-1}{2(2n+1)}

Posté par
lakere : Factorisation dans C 29-11-19 à 08:56

Au fait:

  

Citation :
j'obtiens la nouvelle factorisation: -2ni\prod_{1}^{n-1}{(x-cotg\frac{kpi}{n}) }


Une erreur de signe:

   -2ni\prod_{1}^{n-1}{(x{\red +}cotg\frac{kpi}{n}) }

Posté par
lakere : Factorisation dans C 29-11-19 à 09:04

Bon, j'ai oublié des carrés aux cotangentes partout ...

Posté par
lakere : Factorisation dans C 29-11-19 à 09:06

Je le corrige pour plus de clarté:

  Si A=\prod_{k=1}^n\left(4+\text{cotan}^2 \dfrac{k\pi}{2n+1}\right)

en remarquant que \text{cotan}^2\dfrac{k\pi}{2n+1}=\text{cotan}^2\dfrac{(2n+1-k)\pi}{2n+1}, il vient avec un changement d'indice:

  A=\prod_{k=1}^n\left(4+\text{cotan}^2 \dfrac{k\pi}{2n+1}\right)=\prod_{j=n+1}^{2n}\left(4+\text{cotan}^2 \dfrac{j\pi}{2n+1}\right)

Si bien que A^2=\prod_{k=1}^{2n}\left(4+\text{cotan} ^2\dfrac{k\pi}{2n+1}\right)

Ou encore A^2=\prod_{k=1}^{2n}\left(2i+\text{cotan}\dfrac{k\pi}{2n+1}\right)\,\prod_{k=1}^{2n}\left(-2i+\text{cotan}\dfrac{k\pi}{2n+1}\right)\,

A rapprocher du résultat de la question 1).

Pour information, on trouve A=\dfrac{3^{2n+1}-1}{2(2n+1)}


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