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factorisation de polynôme

Posté par yonyon (invité) 06-01-06 à 22:47

bonjour, j'ai un problème avec cet exo:
factoriser P=X^(2n)+X^n+1 ( n entier naturel)
je ne vois pas du tout comment m'y prendre
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
ottore : factorisation de polynôme 06-01-06 à 22:51

Bonjour,
en posant x^n=y_n tu te ramènes à une suite d'équations du second degré en fonction de n.
A+

Posté par
dad97 Correcteurre : factorisation de polynôme 06-01-06 à 22:51

Bonsoir,

poser Y=X^n et factoriser en Y puis revenir à X^n

Salut

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : factorisation de polynôme 06-01-06 à 23:54

Bonsoir;
Je suppose qu'il sagit de la factorisation dans \fbox{\mathbb{R}[X]} du polynome \fbox{P=X^{2n}+X^n+1}.
On pourra remarquer que \fbox{P=(X^n-j)(X^n-\bar{j})} où \fbox{j=e^{\frac{2i\pi}{3}}}
Soit alors \fbox{z_0,..,z_{n-1}\\z_k=e^{\frac{2i(3k+1)\pi}{3n}}} les racines n-iémes de j,il va de soit que \fbox{\bar{z_0},..,\bar{z_{n-1}}} sont les racines n-iémes de \bar{j} et on peut alors écrire:
\blue\fbox{P=\Bigprod_{k=0}^{n-1}(X-z_k)(X-\bar{z_k})=\Bigprod_{k=0}^{n-1}(X^2-2cos(\frac{2(3k+1)\pi}{3n})X+1)} qu'est la factorisation souhaitée.
Sauf erreurs bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : factorisation de polynôme 07-01-06 à 00:37

Remarque:
En substituant à X la valeur 1 dans l'expression de la fonction polynomiale associée au polynome P on a une formule en bonus:
\blue\fbox{\forall n\ge1\\\Bigprod_{k=0}^{n-1}sin(\frac{(3k+1)\pi}{3n})=\frac{sqrt3}{2^n}}
Sauf erreurs...

Posté par
samirre : factorisation de polynôme 07-01-06 à 13:06

salut elhor_abdelali
je trouve ta façon a répondre aux exos trés èlègante

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : factorisation de polynôme 07-01-06 à 18:33

Merci samir , rigueur oblige


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