Merci d'animer

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S_n = n + (n+1) + ... + (n+2(n-1)) somme de 2n-1 entiers consécutifs.
S_n = (2n-1)[ n + (n+2(n-1)) ] / 2 = (2n-1)²

Ou par récurrence :

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On passe d'une ligne à la suivante en enlevant le premier terme et en en rajoutant 3 à la fin.
Le premier terme de S_n est n et le dernier est 3n-2 .
D'où S_n+1 = S_n - n + (3n-1) + 3n + (3n+1) = S_n + 8n .
Démontrer par récurrence S_n = (2n-1) ² est ensuite facile.

Bonjour

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Une démo possible : c'est une PA de raison 1, de premier terme n qui comporte (2n-1) termes. Le dernier terme est (3n-2). La somme de cette PA est donc (2n-1)(2n-1). CQFD

salut

sympa ... mais facile ...

plus intéressante est :

1
2  3
4  5  6
7  8  9  10
11  12  13  14  15
16 ...

avec les questions :

somme de chaque ligne ?
imparité ?

...

Bonjour

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La ligne n contient (2n-1) termes qui vont de n à (3n-2) en progression arithmétique...

la formule de la somme donne rapidement (2n-1)²

pour le problème de Carpediem

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on établit assez aisément par récurrence que la ligne n commence à la valeur :



qu'elle comporte n termes (évident)

et qu'elle se termine sur la valeur

cela permet de calculer sa somme :

sauf erreur de ma part

oui ce n'est guère plus compliqué ...

et la deuxième question : à quelle condition cette somme est-elle impaire ?

carpediem

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il semblerait, en analysant n modulo 4, que cette somme est impaire dans tous les cas... sauf si n=4k.

oui on dirait bien ... je ne l'ai pas vérifié proprement mais ça ne semble guère compliqué

Bonjour,

une curiosité pour le problème posé par carpediem:
la somme de la ligne est égale à la constante magique d'un carré magique d'ordre .

Bonjour,

Pour le problème initial de bbomaths :

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Dans chaque somme Sn, le terme central est 2n-1. Ce terme central est entouré par n-1 termes à sa droite et n-1 termes à sa gauche. La somme d'un terme et de son symétrique par rapport au terme central vaut le double de celui-ci.

Donc Sn = 2n-1 + 2(n-1)(2n-1)
                   = (2n-1)[1+2(n-1)]
                   = (2n-1)(1+2n-2)
                   = (2n-1)(2n-1)
                   = (2n-1)²

@jonjon71 : Joli

Bonsoir.

A priori, c'était trop simple... Sn = (2n - 1)2