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Niveau terminale
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Famille de fonction

Posté par
Samsco
07-04-21 à 18:50

Bonsoir, j'ai besoin de votre aide svp.

Exercice:

Pour tout n \in \mathbb{N} , on considère la fonction f_n définie sur \mathbb{R} par f_n(x)=xe^{-2^nx} .

1- Comparer f_{n+1}(x) et f_n(2x)

2-(C_n) est la courbe représentative de f_n dans un repère orthonormé (O , I , J) . Par quelle transformation du plan simple passe t-on de (C_n) à (C_{n+1}) ?

3- Calculer A_0=\int_0^1f_0(x)dx. Interpréter géométriquement le résultat.

4-Pour tout n \in \matybb{N}~,A_n=\int_0^{1/2^n}f_n(x)dx
 \\

Comparer A_n et A_{n+1}. Quelle est la nature de la suiteA_n

Réponses :

1-
f_{n+1}(x)=xe^{-2^{n+1}x}
 \\ f_n(2x)=2xe{-2^n×2x}=2xe^{-2^{n+1}x}=2f_{n+1}(x)
 \\ 
 \\ f_n(2x)=2f_{n+1}(x) \iff f_n(2x)-f_{n+1}(x)=f_{n+1}(x)=xe{-2^{n+1}x}

_ si x \geq 0 ~,f_n(2x) \geq f_{n+1}(x)

_si x \leq 0~,f_{n}(2x)\leq f_{n+1}(x)

Posté par
Samsco
re : Famille de fonction 07-04-21 à 18:51

Je bloque à la deuxième question.

Posté par
carpediem
re : Famille de fonction 07-04-21 à 18:52

salut

quel est l'intérêt des lignes suivant les deux premières ?

Posté par
carpediem
re : Famille de fonction 07-04-21 à 18:55

2/ donc f_{n + 1}(x) = \dfrac 1 2 f_n (2x)

que se passes-t-il parallèlement à chaque axe ?


je t'invite à tracer les premières fonctions sur ggb ou Sine Qua Non ... pour comprendre ...

Posté par
Samsco
re : Famille de fonction 08-04-21 à 10:31

carpediem @ 07-04-2021 à 18:52

salut

quel est l'intérêt des lignes suivant les deux premières ?


Comparer deux nombres , c'est montrer celui est le plus grand et celui qui est le plus petit non?

Posté par
carpediem
re : Famille de fonction 08-04-21 à 11:40

tu as trouvé exactement une relation ... et ça s'arrête là !!!

Posté par
Samsco
re : Famille de fonction 09-04-21 à 18:20

J'ai tracé les courbes de f0(x) et (1/2)f0(2x) mais je ne vois quelle relation il y a entre les deux courbes.

Posté par
Samsco
re : Famille de fonction 09-04-21 à 18:22

Courbe rouge f0(x) .

Famille de fonction

Posté par
carpediem
re : Famille de fonction 09-04-21 à 18:46

question : comparer f_{n + 1} (x) $ et $ f_n(2x)

réponse : f_n(2x) = 2f_{n + 1} (x)

j'ai bien comparer les deux termes puisque je dis que l'un est le double de l'autre ... épictou !!!



maintenant si b = 2a ben alors :

si a <= 0 alors b <= a
si a >= 0 alors b >= a

mais ça c'est une évidence ... puisque la fonction x --> 2x est croissante

Posté par
carpediem
re : Famille de fonction 09-04-21 à 18:48

ensuite créer un curseur n puis tracer les fonctions :

x --> f_n(x)
x --> f_{n + 1}(x)

puis

x --> f_n(2x)
x --> 2f_{n + 1} (x)

Posté par
Samsco
re : Famille de fonction 09-04-21 à 19:36

Voilà

Famille de fonction

Posté par
carpediem
re : Famille de fonction 09-04-21 à 19:40

il faut créer un curseur entier !!!

et nous en montrer un peu plus de ta figure du genre fenêtre [-5, 5] x [-5, 5] ...

Posté par
Samsco
re : Famille de fonction 11-04-21 à 12:39

Je ne sais comment faire tout ça.



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