bonjour,

donne l'énoncé complet. Tu n'as rien de plus sur f_k(x) ?

Effectivement, c'est mieux si je donne son expression !
f_k(x)=x-2+ke^-x

mieux !

minimum : habituellement, comment trouves tu le minimum d'une fonction ?

On peut dériver la fonction puis dresser un tableau de variation

oui, c'est ça !
tu dérives et tu regardes pour quelle valeur de x ta dérivée s'annule.
vas y !!

Là j'ai un doute. Dériver x-2 pas de soucis mais pour ke^-x je suis pas sûr de mon résultat.
Est ce que c'est bien -xke^-x-1 ?
Car la dérivée de xⁿ est nx^n-1

Donc j'aurai f'(x) = 1 -xke^-x-1

Bonsoir :l'exponentielle n'est pas une fonction puissance.

Donc ça me donne f'(x) = 1+e^-x ?

non :dérivée de e^u(x) ?

dérivée de e^u(x) = u' * e^u

oui donc?

oui, donc derivée  de f'(x) = ?

Bonsoir Leile ......
Je te laisse.

merci philgr22 d'avoir relayé !

u = -1 donc u' = 0
Donc si je multiplie e^u par u' ça fait 0.
Donc dérivée de x-2 + ke^-x = 1

??

quelle est la derivée  de e^-x ?

Sa dérivée est égale à lui-même

tu te trompes.

On va y aller pas à pas.

la dérivée de e^x   est egale à e^x
mais en appliquant   (e^u)'  =  u'  e^u
avec   u =  -x  
la dérivée de   e^-x   =   ?

Donc ça fait : -1 * e^-x  ?

oui, ca donne    - e ^-x !!

alors la dérivée de   k  e ^-x     s'écrit  -k e ^-x
tu vois ?
donc   f'(x) =  ?

ok et donc f'(x) = 1 -k e^-x

parfait !

etape suivante :
determiner x    tel que   f'(x) = 0
vas y, montre moi ce que tu écris.

1 - ke^-x = 0
ke^-x = 1
ke^-x = e⁰
-xk = 0
x = 0

ke^-x  =  1   on est d'accord.

mais ensuite, non.
tu dois d'abord diviser par k de chaque côté :

e ^-x   =  1/k
comme k est strictement positif, pas de problème !
ici, comment fais tu ?

Là je ne sais pas trop.
Vu que k est strictement positif, 1/k est strictement supérieure à 0, mais je ne sais pas comment poursuivre le calcul.

pour poursuivre, utilise ln

ln (e ^-x ) =  ln( 1/k)

tu sais que   ln(e ^a) = a  n'est ce pas ?
alors   tu sais terminer pour trouver x ?

Ah d'accord, je n'ai pas encore vu la fonction logarithme, ce sera sûrement le chapitre suivant. Mais alors :
-x = ln(1/k)
x = -ln(1/k)

parfait !
ainsi  tu connais l'abscisse de A_k

la question était : est ce que tous ces sommets sont alignés ?
si oui, ils sont sur une même droite  d'équation y=mx+p

chaque sommet est sur la courbe d'équation
y  =    x      -2 +  k e^-x
alors  quand x =  -ln(1/k)       que devient    -2 +  k e^-x  ?

On a donc y = x - 2 + ke^ln(1/k)

oui, c'est ce que j'ai écrit, mais
quand x =  -ln(1/k)       que devient    -2 +  k e^-x  ?

-2 +  k e^-x devient négatif ?

oui c'est négatif mais cela ne va pas te donner l'équation de la droite sur laquelle doivent se trouver tous les Ak...

dans     -2 +  k e^-x  ,  remplace  x par -ln(1/k)
simplifie, qu'est ce que tu obtiens ?

ah mais ça je l'ai écris, c'est y = x - 2 + ke^ln(1/k)
Par contre je ne vois pas comment simplifier +

ln(e ^a) = e ^ln(a) = a

donc   e ^ln(1/k)  =  ?

y = x - 2 + k * 1/k
y = x - 2 + 1
y = x - 1

excuse ma réponse tardive .

Oui  !!

y =  x-1   donc
quelque soit k  strictement positif, le sommet de la courbe est sur la droite d'équation y=x-1,
les sommets sont alignés !   et hop là !

je résume  :
pour situer le minimum, tu as dérivé, puis posé derivée = 0.
ensuite tu as montré que le sommet de chaque courbe se trouve sur une même droite, dont l'équation y=x-1  ne dépend pas de k.
OK ?

Parfait, merci infiniment pour le temps que tu m'as accordé c'est super sympa !

je t'en prie, à une prochaine fois peut-être.
Bonne soirée

une petite chose :
puisque tu m'as dit que tu n'avais pas vu la fonction ln,
on aurait pu s'en dispenser et juste dire que

e^-x = 1/k

donc - 2  +  k  e^-x =   - 2  +  k * 1/k =  -2 +1 = -1

finalement, tu as pris un peu d'avance avec les ln  

ok merci !