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Famille generatrice dans espace vectoriel

Posté par Satchmo (invité) 20-08-04 à 16:30

Bonjour,
Je ne trouve rien dans mes cours (ni sur le forum) qui me permette de répondre au pb suivant :
La famille de R², constituée par les vecteurs x1=(1,1), x2=(1,-1) et x3=(0,1) est-elle génératrice ?
x2 et x3 constituent-ils une base ?

Il me semble qu'on doit avoir pour tout vecteur u de R²
u=a1x1 + a2x2 + a3x3 (a1, a2 et a3 scalaires) pour que la famille soit génératrice, mais comment le démontrer dans ce cas ?

Merci

Posté par
otto
re : Famille generatrice dans espace vectoriel 20-08-04 à 17:15

C'est facile, pour tout u=(x,y)
u=x(x1+x2)/2+yx3

Ce qui prouve bien que ta famille est génératrice...

Posté par
otto
re : Famille generatrice dans espace vectoriel 20-08-04 à 17:16

Je n'ai pas vue la 2e question, mais qu'est ce qu'il faut pour qu'une famille soit une base d'une manière générale?
Et lorsque l'on est en dimension finie celà revient aussi à dire que...

Posté par satchmo (invité)re : Famille generatrice dans espace vectoriel 20-08-04 à 17:21

Merci Otto,
Pour la 2e question, ça ira, mais pour la première, un peu d'explication me serait utile, c'est plus la demo qui m'interesse que le résultat ....
Merci d'avance

Posté par
charlynoodles
re : Famille generatrice dans espace vectoriel 20-08-04 à 17:32

Hello Satchmo !

En effet ta méthode est bonne , en fait il faut démontrer que si (x1,x2,x3) est une famille libre :

x1+x2+x3=0

alors

===0

donc ici on a :

x1+x2+x3=0

(,)+(,-)+(0,)=0

(+,-+)=0

tu aboutis au système

+=0
-+=0

= -
= 2

tu vois que ce système admet une infinité de solution pour annuler la combinaison linéaires

Donc (x1,x2,x3) n'est pas un système libre.

2) x2 et x3 constituent-ils une base ?

meme méthode :

x2+x3=0

(,-)+(0,)=0

(,-)=0

=0
-=0

donc ==0

donc (x2,x3) est une famille libre
De plus l'espace est de dimension 2

(x2,x3) est donc une famille libre maximale , c'est donc une base

Voili voilà Charly

Posté par
otto
re : Famille generatrice dans espace vectoriel 20-08-04 à 18:46

Salut, je te l'ai donnée la démo
on voit que 1/2(x1+x2)=(1,0) et comme x3=(0,1) tout devient plus limpide...

Posté par Satchmo (invité)re : Famille generatrice dans espace vectoriel 20-08-04 à 19:04

C'était mon premier voyage dans l'espace vectoriel
Faut que je bosse encore un peu.
Merci du coup de main, ça me débloque.
Salut.

Posté par carrocel (invité)re : Famille generatrice dans espace vectoriel 21-08-04 à 10:00

Bonjour !

Pourquoi Charlydoonles tu as fait un truc si complique ? Certes ,c'est juste mais on a que : une famille de 3 vecteurs ds un ev de dimension 2 est toujours liée !
(Pour sachtmo, l'espace est de dim 2, dc si 2 vecteurs de la famille peuvent former une base, le 3eme sera forcement expression des deux autres (a cause de la dimension de l'ev), sinon s'ils ne peuvent pas former de base, ils sont deja forcement lies !)
C'est une precision pour si on en voit pas l'astuce d'Otto !

j'espere que ca t'auras un peu avance

Posté par
charlynoodles
re : Famille generatrice dans espace vectoriel 21-08-04 à 10:14

tu as tout à fait raison : mon algèbre linéaire remonte l'année dernière , je viens d'avoir mon DEUG MIAS

charly

Posté par
otto
re : Famille generatrice dans espace vectoriel 21-08-04 à 11:47

Plus qu'une "astuce" c'est la définition même du mot générateur qui est utilisé.

On a x3=(0,1) qui est le 2e vecteur de la base canonique de R².
On voit assez facilement que (x1,x3) ou (x2,x3) est libre, mais il y'a des 1 et des -1 un peu partout qui nous ennuient, alors on va créer un vecteur plus simple à partir de x1 et de x2,
on voit facilement que la demi somme est le 1er vecteur de la base canonique (1,0)
or pour tout u de R²,u=(x,y)=(x,0)+(0,y)=x(1,0)+y(0,1)=x(1/2(x1+x2))+yx3

Posté par carrocel (invité)re : Famille generatrice dans espace vectoriel 21-08-04 à 22:02

Salut !

Bien sur que c'est la def, mais je dis que c'est une astuce car en general on ne peut pas le faire. Ici, ca marche car c'est un cas relativement simple mais des que tu augmentes  une dimension ou que les vecteurs sont plus complexes et bien patatras. Cela dit, cette solution est correcte et autant presenter plusieurs reponses !

Posté par
otto
re : Famille generatrice dans espace vectoriel 21-08-04 à 23:54

Bein en fait si tu peux toujours le faire puisque comme ta famille est génératrice, elle engendre tout vecteur, et en particuliers (1,0,0,0,...) (0,1,0,0...) etc

Posté par carrocel (invité)re : Famille generatrice dans espace vectoriel 23-08-04 à 14:56

oui, tu peux toujours t'amuser a resoudre des systemes si tu veux !! allez a +



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