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Famille libre
Bonjour,
J'ai besoin de votre aide sur cet exo.
Soit S et S' deux systèmes de vecteur d'un K-e-v E.
Montrer les propositions suivantes:
i) si S est libre alors .
ii) S est lié si et seulement au moins l'un des vecteurs de S s'écrit comme combinaison linéaire des autres vecteurs.
iii) Si et si S est libre alors S' est libre.
iv)Si et si S' est libre alors S est libre.
i) Supposons que S est libre et supposons que
On écrit
On a : , car
est s-e-v de E.
Contradiction.
Ainsi : : .
ii) supposons que S est lié (c'est-à-dire n'est pas libre) : les vecteurs de S.
On a au moins un des a_i est non nul . supposons que c'est a_n.
Voici que u_n d'écrit comme combinaison linéaire des autres vecteurs.
Réciproquement supposons que l'un des vecteurs s'écrit comme combinaison linéaire des autres vecteurs. Et supposons que c'est u_n
a_n?0 et , donc S est lié.
j'imagine qu'il faut montrer que
i) si S est libre alors OE 
S ?
mais alors là je ne comprends pas la "démonstration" proposée !
j'imagine qu'il faut montrer que
i) si S est libre alors OE
S ?
mais alors là je ne comprends pas la "démonstration" proposée !
Oui c'est ça .
Je suppose que S est libre.
Je veux faire un raisonnement par absurde: pour cela je suppose que
Ona: S={
Or
Contradiction.
Ainsi OE
S.iii) est fausse.
Ce qui est vrai c'est que si S est liée, S' est liée.
Excuse c'est une erreur . c'est lié au lieu de libre.
Pour iii) et iv) il suffit de remarquer qu'une combinaison linéaire d'éléments de S est aussi une c.l. d'éléments de S'.
iii) S={} et S'={
}
Supposons que S est lié , donc un des vecteurs est combinaison linéaire des autres. Faisons correspondre ce vecteur à .
Soit
On a :
Donc S' est liée ?
toureissa
j'imagine qu'il faut montrer que
i) si S est libre alors OE
S ?
mais alors là je ne comprends pas la "démonstration" proposée !
Oui c'est ça .
Je suppose que S est libre.
Je veux faire un raisonnement par absurde: pour cela je suppose que
Ona: S={
Or
Contradiction.
Ainsi OE
S.vision 1 :
est une combinaison linéaire nulle où les coefficients ne sont pas tous nuls... donc famille pas libre
vison 2 : (celle de toureissa)
donc la famille est liée, donc pas libre
vision 1 :
est une combinaison linéaire nulle où les coefficients ne sont pas tous nuls... donc famille pas libre
vison 2 : (celle de toureissa)
donc la famille est liée, donc pas libre
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