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Famille libre
Bonjour à tous !
Je bloque sur un exercice et je ne vois pas comment m'en sortir. On me demande de montrer que la famille exp(rx) est une famille libre de l'ensemble des fonctions de R dans R, pour tout r appartenant à R.
Hello !
Avant de faire quoi que ce soit, tu vas nous dire ce qu'il faut montrer et par quoi commencer (d'après ton cours)
Après on verra comment avancer!
Bonjour.
Tu pars d'une combinaison linéaire nulle, et tu veux montrer que tous les coefficents sont nécessairement nuls. Pour ce faire, tu peux évaluer cette combinaison linéaire en certain points. Un indice : déterminant de Vandermonde.
Il serait peut-être bon de parler correctement et de dire que
..pour tout réel r on désigne par fr l'application x
exp(rx) de 
vers .
..qu'on veut (demande de ) montrer que A := { fr │ r 
} est une partie libre du -ev F formé de toute les applications de vers .
On prend donc une partie finie B finie de A .
1.Si B est un singleton { fr } démontrer que B est libre c'est montrer que si t,fr = 0 ( l'application nulle x 0) alors t = 0 . Ce n'est vraiment pas trop difficile !
2Si B a 2 éléments fr et fs ( où r 
s ) il faudra montrer que si a.fr + b. fs = 0 ( l'application nulle x 0) alors a = b = 0 .
etc...
Merci à tous pour vos réponses,
Je ne connais pas le déterminant de Wan der Monde mais je peux me renseigner dessus. Etniopal, est-ce que ta méthode marche pour un ensemble qui est infini ? Car l'ensemble B que tu décris est infini, on ne peut donc pas montrer tout les cas où B possède 3, 4, ..., n éléments, non ? Quant à l'écriture, je suis sur téléphone donc je ne possède pas les caractères spéciaux...
Bonjour,
On me demande de montrer que
etniopal te l'a rétabli. Mais la prochaine fois, essaye de recopier l'énoncé sans le raconter, en séparant bien l'énoncé de tes commentaires.
Sikeli
Une partie X d'un K-ev est dite libre si chaque partie finie de X l'est (c'est la définition)
Bonjour
As tu par hasard déjà étudié les valeurs et vecteurs propres ? Si oui il y a une méthode hyper rapide qui consiste à considérer tes fonctions comme vecteurs propres de l'opérateur "derivation"
Rebonjour !
Pas de problème la prochaine fois je mettrais l'énoncé complet avant mes commentaires. Etniopal, certes mais ici l'ensemble B possède une infinité de partie, comment montrer qu'elles sont toutes libres ? On est dans les réels, on peut donc pas faire de récurrence non ?
Lafol, non, je n'ai pas encore étudié ceci, jusqu'à maintenant je n'étudiais que des familles possédant un nombre finis de vecteur, ce qui rendait la chose beaucoup plus facile, or ici la famille est infinie si je ne dis pas de bêtises, donc mes méthodes ne marchent plus.
Comme etniopal l'a souglié, par définition, une famille infinie est libre ssi toute sous-famille finie l'est.
Ici tu veux montrer que est libre (je reprends les notations d'etniopal). Il s'agit donc de montrer que pour tous réels
, la famille
est libre. On se ramène donc bien à un nombre fini de vecteurs. Et on peut faire une récurrence sur
(c'est d'ailleurs comme ça qu'on démontre la propriété à laquelle lafol fait référence).
PS : Pourquoi parlez-vous de "Van der Monde" ? Je vois très souvent cette orthographe. Pourtant d'après mes recherches il s'agit d'un mathématicien français, Alexandre-Théophile Vandermonde, donc si quelqu'un pouvait me dire d'où vient cette orthographe alternative j'apprécierais !
Je ne comprends pas comment appliquer une récurrence ici, en effet jusqu'à maintenant j'utilisais la méthode citée par etniopal,
Il serait peut-être bon de parler correctement et de dire que
..pour tout réel r on désigne par fr l'application x
exp(rx) de vers .
..qu'on veut (demande de ) montrer que A := { fr │ r
} est une partie libre du -ev F formé de toute les applications de vers .
On prend donc une partie finie B finie de A .
1.Si B est un singleton { fr } démontrer que B est libre c'est montrer que si t,fr = 0 ( l'application nulle x
0) alors t = 0 . Ce n'est vraiment pas trop difficile !
2Si B a 2 éléments fr et fs ( où r
s ) il faudra montrer que si a.fr + b. fs = 0 ( l'application nulle x 0) alors a = b = 0 .
etc...
Sauf que l'ensemble B possédait toujours 3 ou 4 éléments tout au plus, ici etniopal me dit que l'ensemble B est fini, mais je ne comprends pas comment avec un ensemble fini on peut prouver que l'ensemble A, qui lui est infini, est linéairement indépendant. Je sais que toute sous-famille d'une famille libre est libre mais la réciproque n'est pas toujours vraie donc cela ne suffit pas pour démontrer que A est libre ?
Désolé si mes questions semblent "stupides" mais j'avoue ne pas bien comprendre.
Comme etniopal l'a souglié, par définition, une famille infinie est libre ssi toute sous-famille finie l'est.
Ici tu veux montrer que
PS : Pourquoi parlez-vous de "Van der Monde" ? Je vois très souvent cette orthographe. Pourtant d'après mes recherches il s'agit d'un mathématicien français, Alexandre-Théophile Vandermonde, donc si quelqu'un pouvait me dire d'où vient cette orthographe alternative j'apprécierais !
Ici, je ne comprends pas pourquoi la famille (f_{r_k})_{1\le k\le n} est nécessairement finie. En effet car dans notre récurrence k va prendre successivement les valeurs 1, 2 etc mais lorsque k=n et que n tend vers l'infini notre famille de vecteurs est-elle à nouveau infinie ?
Bon... commencons par qqch d'apparament plus simple, soit p réels deux a deux distincts.
Un utilisant soit le déterminant de Vandermonde (dont j'ignorais qu'il était francais, mea culpa) soit l'opérateur saurais tu prouver que la famille
est libre?
Ici, je ne comprends pas pourquoi la famille
parce qu'elle contient très exactement n vecteurs.
n peut être grand, très grand même, mais un million de vecteurs, ou mille milliards de vecteurs, c'est toujours un nombre fini de vecteurs ....
Bonjour,
Une combinaison linéaire est une somme d'un nombre fini de termes.
A est un ensemble infini. Soit.
Mais si on démontre que toute sous famille finie de A est libre, on aura bien démontré que toute combinaison linéaire d'élément de A ne peut être la fonction nulle que si ses coefficients sont tous nuls.
Une combinaison linéaire d'éléments de A s'écrit avec un nombre fini d'éléments de A.
Et ce nombre fini d'éléments de A forme une famille libre.
Mais tu n'as pas une définition quelque part de ce qu'est une famille libre infinie ?
mokassin,
J'essayerais de faire comme ceci, implique que tout les
sont nuls.
On aurait donc .
Puis je dirais que la fonction exp(x) est strictement positive quel que soit x donc nécessairement les coefficients a devront être nuls.
nuls ? pourquoi pas certains positifs et d'autres négatifs ? ton argumentation est un peu faiblarde, sur ce coup là 
Pour la récurrence :
Pour n entier > 0 je désigne par An l'ensemble des parties finies de A qui ont n éléments .
On veut montrer que , pour tout n , An est libre donc que l'ensemble S formé des n 
* tels que An est libre n'est autre que *.
Il est clair que 1 S .
Supposons que n S .
Soient (r0 , r1,....,rn) n+1 et (c0 , c1,....,cn) n+1 tels que
r0 < r1<....< rn et .
On a donc ( en posant sk := rk - r 0 ) c0 + c1exp(s1x) +..... + cnexp(snx) = 0 pour tout x .
Alors c1s1exp(s1x) +..... + cnsnexp(snx) = 0 pour tout x .
Or on a 0 < s1 < .....< sn et comme n S on a aussi ck sk = 0 pour tout k > 0 et donc ck = 0 pour tout k > 0 et se réduit alors à c0 = 0 .
On a montré que n + 1 S .
On termine en invoquant le théorème (dit de la récurrence .
salut
soit P(n) la proposition " toute famille de n éléments de A est libre"
soit n + 1 éléments distincts de A et n + 1 réels tels que
supposons que tous les réels a_i ne sont pas nuls et considérons que (on le peut quitte à renuméroter les objets)
premiers cas : si (donc
) alors
on dérive (1) et on obtient
d'après l'hypothèse de récurrence tous les avec i > 1 sont nuls et en injectant dans (1) on en déduit que
contradiction donc (et par conséquent tous les a_i)
deuxième cas : avec
on dérive à nouveau (1) et on obtient
alors
or évidemment donc par hypothèse de récurrence les a_i sont nuls et donc a_1 aussi
...
et donc P(n) => P(n + 1) ...
il me semble cependant qu'en toute rigueur il y a un petit pb pour le deuxième ... mais qui se corrige très simplement ...
Encore merci à tous,
etniopal, j'ai compris l'idée de cette preuve mais je me demande pourquoi "c0 + c1exp(s1x) +..... + cnexp(snx) = 0 " implique que " c1s1exp(s1x) +..... + cnsnexp(snx) = 0 ", car appartient à R donc il suffit que
=
pour que ce soit faux.
Encore merci à tous,
etniopal, j'ai compris l'idée de cette preuve mais je me demande pourquoi "c0 + c1exp(s1x) +..... + cnexp(snx) = 0 " implique que " c1s1exp(s1x) +..... + cnsnexp(snx) = 0 ", car
petite correction...
Je ne comprends pas vraiment le rapport entre la dérivée et ma question. Pourquoi utilise-t-on la dérivée ?
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