Salut,

je suppose qu'il s'agit de la famille de fonctions d'exponentielles en base a.

Y a pas de mystere: on prend une sous-famille finie, on ecrit une combinaison lineaire nulle de cette sous-famille:

b1.exp(a1.x) +... + bn.exp(an.x) = 0, et ce quel que soit x reel.

Les an sont des elements de R+*.

Ben on regarde le plus grand d'entre eux. On factorise le exp(ai.x) qui correspond. Et on dit que si le bi associe est non nul... qu'est-ce qui se passe quand x tend vers + l'infini?

Donc on a un des bk nul, on a une combinaison de lineaire de n-1 termes... soit on fait une recurrence inverse, soit on redige differemment et on montre par recurrence "normale" que si les sous-familles a n elements sont libres, les sous-familles a n+1 elements aussi.

Et voila.

Ok?

biondo

cela revient à montrer qu'une combinaison linéaire d'exponentielles (bases a1, ...,an, toutes distinctes, que l'on peut supposées rangées dans l'ordre croissant, soit 0<a1<...<an) ne peut être nulle. Raisonnons par l'absurde, et supposons que cette combinaison linéaire existe
f(x)=Somme ki*ai^x=0 alors f(x)/ai^x est la somme de n-1 termes de la forme ki*(ai/an)^x, qui tendent tous vers 0 quand x tend vers l'infini, et d'un nième terme égal à kn: cette somme ne peut être identiquement nulle!

Pardon, lire f(x)/an^x