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famille libre maximale

Posté par
Yosh2
27-03-21 à 21:46

bonjour
on me demande de démontrer qu'une famille libre maximal est une base,
soit (e1,....,en) une famille libre maximal donc (e1,...., en, u) est liée et intuitivement on dirais que c'est u qui s'ecrit comme combinaison lineaire des autres , mais je me dit que c'est possible que ca soit l'un des ei , en effet ceci est impossible au sein de la famille (e1,....,en) car elle est libre mais au sein de (e1,...., en, u) je ne suis pas sur . pouvez vous m'eclaircir ce point ?
merci

Posté par
carpediem
re : famille libre maximale 27-03-21 à 21:55

salut

que signifie "mathématiquement" : la famille (e_1, e_2, ..., e_n , u) est liée ?

Posté par
Yosh2
re : famille libre maximale 27-03-21 à 22:28

bonsoir
ça signifie que l'un de ces vecteurs peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres, donc a priori on ne peut pas dire lequel exactement , ce qui signifie que ca peut tres bien etre l'un des ei . mais du coup je ne suis pas plus avance pour la preuve , en effet je pensais que c'est le vecteur ajoute a la famille libre qui était comb linéaire des autres , ce qui me permettrai de dire que tout vecteur en plus est généré par la famille libre ( d'ou le caractère generateur )  et puis de conclure que c'est une base , mais vu que ce n'est pas tout a fait ca , pouvez vous m'indiquer comment procéder autrement ?
merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : famille libre maximale 28-03-21 à 08:08

Bonjour,
Je pose une question plus précise :
Quelle est la définition pour "famille liée" ?

Posté par
matheuxmatou
re : famille libre maximale 28-03-21 à 09:29

bonjour

déjà faudrait préciser "soit u un vecteur quelconque..."

alors faut écrire les choses plutôt que faire de longues digressions

1 : écris le fait que la famille est liée
2 : se peut-il que le coefficient de u soit nul ?
3 : exprimer u comme CL des (e)
4 : conclure

Posté par
carpediem
re : famille libre maximale 28-03-21 à 10:03

Yosh2 @ 27-03-2021 à 22:28

ça signifie que l'un de ces vecteurs peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres
non ce n'est pas la définition générale mais une conséquence !!

certes mais lesquels ? peut-on le faire pour touts ?

Aide : prend u = e_k et réfléchis !!!

Posté par
Yosh2
re : famille libre maximale 28-03-21 à 11:25

bonjour
la première définition dans mon cours d'une famille liée était "l'un des vecteurs s'ecrit comme combinaison linéaire des autres " , ensuite on a dit qu'une famille qui n'est pas liée est libre et puis on a propose des caractérisations , si la combinaison lineaire est nul les coeff sont nuls ( famille libre) , et il existe des coeff non tous nuls tq la comb lineaire est nuls.
en suivant la demarche de matheuxmatou :
a1,.....,an+1 non tous nuls tq a1e1+ ....+ anen + an+1u = 0
en effet an+1 ne peut pas etre nuls car par liberte des ei tous les autres ai seraient aussi nuls (impossible car non tous nuls ) , ainsi en le passant a droite et en divisant par an+1 (non nul) c'est donc le u qui s'écrit comme comb lineaire des autres . d'ou le caractère générateur de la famille ei etant libre il s'agit donc d'une base

merci a vous

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : famille libre maximale 28-03-21 à 11:59

Tu n'as jamais dit où tu prenais u.
Est-il quelconque dans ... . Dans quoi au fait ?
L'énoncé du premier mot au dernier mot donne peut-être un nom à l'espace vectoriel où on travaille.

Posté par
Yosh2
re : famille libre maximale 28-03-21 à 12:28

en effet on travaille dans l'espace vectoriel E , et (e1,....,en) une famille libre maximal de E , donc en considérant une sur famille (e_1, e_2, ..., e_n , u) , u est un vecteur quelconque de E

Posté par
carpediem
re : famille libre maximale 28-03-21 à 13:12

Yosh2 @ 28-03-2021 à 11:25

a1,.....,an+1 non tous nuls tq a1e1+ ....+ anen + an+1u = 0
en effet an+1 ne peut pas etre nuls car par liberte des ei tous les autres ai seraient aussi nuls (impossible car non tous nuls ) , ainsi en le passant a droite et en divisant par an+1 (non nul) c'est donc le u qui s'écrit comme comb lineaire des autres
ou n'importe quel e_i dont le coefficients n'est pas nul !!

Yosh2 @ 28-03-2021 à 11:25

ensuite on a dit qu'une famille qui n'est pas liée est libre et puis on a propose des caractérisations , si la combinaison linéaire est nul les coeff sont nuls alors la famille est libre) , et il existe des coeff non tous nuls tq la comb lineaire est nuls.


donc par contraposée si la famille est liée alors dans cette combinaison linéaire tous les coefficients ne sont pas nuls

et alors tu peux exprimer tout vecteur dont le coefficient n'est pas nul en fonction des autres (comme tu l'as fait pour u) ...

Posté par
Yosh2
re : famille libre maximale 28-03-21 à 13:29

bonjour
en effet carpediem je n'avais pas remarque que c'etait aussi vrai pour les ei dont les coeffs seraient non nuls .
mais ceci n'est pas pertinent au sein de la preuve car ca ne montrerai pas le caractère génerateur de la famille a moins que le u soit égale a l'un des ei n'est ce pas?
si le u est différent des ei alors nécessairement je dois montrer que c'est lui qui comb linéaire ( généré par les autres )
merci a vous

Posté par
carpediem
re : famille libre maximale 28-03-21 à 13:41

si F = (e_1, e_2, ..., e_n) est libre et si F U [u} est liée alors pour tout vecteur e_k dont le coefficients n'est pas nul la famille G = F U {u} - {e_k} est libre ...

si de plus F est génératrice alors il en est de même de G ...

Posté par
carpediem
re : famille libre maximale 28-03-21 à 13:41

je te laisse faire la démonstration ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : famille libre maximale 28-03-21 à 13:57

Début d'une démonstration plus claire :

Donnée 1 : (e1,....,en) est une famille libre maximale de E.

Soit u un élément quelconque dans E.
La famille (e1,....,en, u) n'est pas libre d'après la donnée 1.
Elle est donc liée.
Ce qui signifie qu'il existe des réels a1,.....,an+1 non tous nuls tels que
a1e1+ ....+ anen + an+1u = 0.

Conseils :
Des phrases courtes. Passer à la ligne souvent, voire en sauter une.
Éviter les abréviations.

La conclusion sera :
On a démontré que tout élément de E peut s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille (e1,....,en).
Cette famille est donc une famille génératrice de E.
D'après la donnée 1, elle est aussi libre ; c'est donc une base de E

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : famille libre maximale 28-03-21 à 14:01

Messages croisés
Pourquoi parler de ek ?
Démontrer an+1 non nul suffit.

Posté par
carpediem
re : famille libre maximale 28-03-21 à 14:02

effectivement j'avais oublié la question initiale ...

Posté par
Yosh2
re : famille libre maximale 28-03-21 à 14:24

bonjour
même si an+1 non nul suffit ( j'arrive a bien comprendre cette partie la , c'est ce que j'ai fait pour mon msg de 11:25) cependant je reste intrigue par la proposition sur les ek que carpediem m'a propose de montrer , car je n'arrive toujours pas a la saisir .
voici une debut de recherche :
F {u} est lie
donc il existe des  coeff ai non tous nuls tq
a1e1+....+anen + an+1u = 0
soit ek un vecteur dont le coef ak est non nul
on a donc -akek = (a1e1+....+an+1u )
pour prouver  que G = F U {u} - {e_k} est libre , on doit montrer que pour tout coeff ( en particulier les ai precedent )
(a1e1+....+an+1u )= 0 ==> i {1,...,n+1} - {k} ai = 0
on (a1e1+....+an+1u )= 0
==> -akek = 0
ce qui est absurde car aucun des deux n'est nuls
( la je n'ai pas envie de faire des conclusions hâtives )
pouvez vous me dire si ceci est correct?
merci a vous

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : famille libre maximale 28-03-21 à 14:27

Regarde le message très clair de matheuxmatou à 9h29 et laisse tomber cette histoire de ek qui ne sert à rien.

Posté par
Yosh2
re : famille libre maximale 28-03-21 à 15:08

bonjour
oui j'ai applique les conseils de matheuxmatou dans mon message a 11:25 , puisque vous me demandez de le regarder. dois je comprendre que mon travail est incorrecte ? si oui pouvez vous me dire exactement ou se trouve le problème?
pour les ek abandonner maintenant alors que j'ai consacre un sacre bout de temps et d'énergie a y reflechir serais certainement du gâchis, pouvez vous me dire au moins pourquoi ma tentative de preuve est fausse ? aussi pourriez vous me donner un exemple numérique , peut etre que ca m'aidera a comprendre pourquoi la propriété énoncé parcarpediem est vrai ?
merci a vous  

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : famille libre maximale 28-03-21 à 18:21

Je n'ai pas cherché à comprendre cette histoire de ek car elle ne sert à rien pour l'exercice initial.
carpediem le gérera peut-être.

J'ai lu et commenté, à 11h59 puis 13h57, la démonstration du message de 11h25.

Posté par
carpediem
re : famille libre maximale 28-03-21 à 19:49

le pb n'est pas qu'elle ne sert rien pour l'exercice (ce dont je suis bien d'accord) c'est qu'elle est très riche pour s'approprier la notion de famille libre et/ou génératrice ... et le cardinal d'une base ... (puisqu'une famille libre maximale est une base)

et le propre de la science est la curiosité et la recherche ... au-delà même de ce qui peut être demandé ... simplement pour s'enrichir ...

F est libre et F U {u} est liée ... et on suppose u \ne 0  (*) évidemment

soit \sum_1^n a_ke_k + au = 0  (1)

si a =0 alors par définition de F pour tout k : a_k = 0

donc a \ne 0

si tout les a_k sont nuls alors (1) \iff au = 0 \iff u = 0  contradictoire avec (*)

donc il existe au moins un m tel que a_m \ne 0  et alors e_m = \dfrac 1 {a_m} \left( \sum_{k \ne m} a_k e_k + au \right)   (2)

montrons alors que la famille G = F U {u} - {e_m} est libre

soit \sum_{k \ne m} b_ke_k + bu = 0  et supposons b non nul

alors u = \dfrac 1 b \sum_{k \ne m} b_k e_k = \dfrac 1 b \sum_{k \ne m} b_k e_k + 0e_m

or d'après (1)  u = \dfrac 1 a \sum_1^n a_k e_k avec a_m \ne 0  d'après   (2)

ce qui est contradictoire !!!

donc b = 0

et si la famille F est libre il en est évidemment de même de toute sous-famille de F ...




je te laisse démontrer le caractère générateur de G



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