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Familles de parties d'un ensemble

Posté par
Yona07 16-10-21 à 19:41

Bonjour!

Soit (A_i)_{i\in I} et (B_i)_{i\in I} deux familles de parties d'un ensemble E.

On suppose que pour tout indice i de I, on a:
E=(A_i)\cup{(B_i)}.

Montrer que E=F, avec   F=(\bigcup_{i\in I}^{}{}A_i)\bigcup{(\bigcap_{i\in I}^{}{B_i}}).

Merci d'avance!

Posté par
carpediemre : Familles de parties d'un ensemble 16-10-21 à 19:45

salut

soit x un élément de E

montrer qu'il appartient à F ...

Posté par
Yona07re : Familles de parties d'un ensemble 16-10-21 à 20:01

On a :

F=(\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\bigcup{(\bigcap_{i\in I}^{}{B_i})}=(\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\bigcup{(B_1\cap{B_2\cap...\cap{B_n}})}=((\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_1})\cap{((\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_2}})\cap...\cap{((\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_n}})\\

D'ailleurs:

A_1\subset (\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})

Donc:

((\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_1})=E
(les A_i autres que A_1 sont tous inclus dans E puisqu'ils appartiennent à l'ensemble des parties de E)

De même, tous les ((\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_i})=E

Ainsi:

F=((\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_1})\cap{((\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_2}})\cap...\cap{((\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_n}})=E\cap{E\cap{E\cap...\cap{E}}}=E

Les idées sont là, mais j'ai mal rédigé la démonstration...



Posté par
carpediemre : Familles de parties d'un ensemble 16-10-21 à 20:22

ben non c'est pas mal !!

Yona07 @ 16-10-2021 à 20:01

F=(\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\bigcup{(\bigcap_{i\in I}^{}{B_i})}=(\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\bigcup{(B_1\cap{B_2\cap...\cap{B_n}})}=((\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_1})\cap{((\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_2}})\cap...\cap{((\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_n}})\\

or  (\bigcup_{i\in I} {A_i})\cup{B_1} = A_1 \cup B_1 \cup (\cup_{i \in I} A_i) = E \cup (\cup_{i \in I} A_i) = E   car les A_i autres que \cancel A_1 sont tous inclus dans E puisqu'ils appartiennent à l'ensemble des parties de E)

De même, tous les ((\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_i})=E

Ainsi:

F=((\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_1})\cap{((\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_2}})\cap...\cap{((\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_n}})=E\cap{E\cap{E\cap...\cap{E}}}=E

Posté par
Yona07re : Familles de parties d'un ensemble 16-10-21 à 20:30

Salut carpediem!

Pour que je procède par double inclusion comme vous avez proposé, je veux savoir si:

A_1\cup{B_1}=(\bigcup_{i\in I}^{}{A_i})\cup{B_1}
est vrai?

(Les Ai appartiennent tous à l'ensemble des parties de E, donc ils sont tous inclus dans E... Donc la réunion de (la réunion des Ai autre que A1) et de (la réunion de A1 et B1) est E, non?)

Posté par
Yona07re : Familles de parties d'un ensemble 16-10-21 à 20:33

carpediem @ 16-10-2021 à 20:22

ben non c'est pas mal !!


Salut, je n'ai pas vu votre message (messages croisés).. J'ai pensé qu'il y a qqch qui manque dans ma rédaction.. Merci pour m'avoir assuré!

Posté par
carpediemre : Familles de parties d'un ensemble 16-10-21 à 21:01

de rien


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