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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Fcts analytiques
Posté par camalo
Bonjour, j'ai l'énoncé suivant :
Determiner toutes les fonctions analytiques f sur C verifiant f(1/n) = e1/n pour tout n de 
*
Mais absolument aucune idée de par quel bout commencer ...
Une petite piste svp??
f(m/n) = f(1/n)^m te donne l'image de tous les rationnels, et ensuite tu utilises la densité de Q dans R, puis ...
jsvdb @ 30-10-2019 à 17:05
Bah tu dois avoir = e)
donc il n'est pas question de la fonction nulle 
Bah tu dois avoir
Oui pardon
et ainsi pour x dans
, f(x)=ex
Elle est analytique sur tout
il n'y a pas d'argument de densité qui nous permet de "passer de" à
Peut-être les parties réelles et imaginaires..?
Deux fonctions holomorphes coincidant sur un ensemble possédant un pt d'accumulation coincident sur la composante connexe du point en question.
Par ailleurs, est ce que tu ne vois pas une solution évidente ?
L'exponentielle complexe ?
mokassin @ 30-10-2019 à 17:38
Par ailleurs, est ce que tu ne vois pas une solution évidente ?
Par ailleurs, est ce que tu ne vois pas une solution évidente ?
Non pas forcément, je devrais ?
Merci pour vos réponses,
En quoi le passage de R à C est évident ?
Est ce qu'il s'agit de dire que f coïncide avec ex sur R, qui possède un point d'accumulation...?
Enfin, si vous pouvez me donner un peu plus d'explications pour ne pas me retrouver perdue dans un cas plus difficile 
Tu n'as meme pas besoin de déterminer f sur R. D'ailleurs tu ne peux pas proceder comme ca. Il existe des tas de fonctions memes lisses sur R qui valent exp(1/n) en 1/n pour tout n entier non nul.
Tu dois « directement te placer sur C ». La fonction exponentielle vérifie cela et est holomorphe sur C. Et {1/n, n>0} possède un pt d'accumulation donc c'est la seule fonction holomorphe sur C verifiant cela.
J'ai un peu réfléchi dites moi si c'est correct :
Je veux montrer que 
z
, ez est une solution.
On considère la fonction g(z)=f(z)-ez qui est analytique sur .
g(1/n)=0 donc comme 1/n
0, 0 est un point d'accumulation des zéros de g
Donc ........
g est identiquement nulle ?
Comme g est analytique sur C, et g les zéros de g possèdent un point d'accumulation sur C, alors g est identiquement nulle sur C
Merci mokassin
L'affaire serait bien différente d'ailleurs si on te demandait de trouver les fonctions holomorphes sur C prive de 0.
Dans ce cas je ne pourrais rien faire sachant que 0 est le seul point d'accumulation ? Et sans point d'accumulation comment caractériser une fonction holomorphe...
Bah sans points d'accumulations, tu as pleins de fonctions holomorphes qui ont les mêmes zéros.
Par exemple, une fonction holomorphe qui s'annule sur les est le sinus complexe. Mais toutes les
s'annulent aussi sur les mêmes points.
Essaye de faire la même chose avec une fonction entière qui vérifie que (elle vérifie aussi f(0) = 1 par continuité)