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Fermat arithmetique

Posté par
aya4545 21-03-22 à 14:28

bonjour
j ai besoin de votre aide pour achever cet exercice
E={x \in \N  0\leq x<26} g application de E dans E  qui associe a chaque entier x le reste de la division euclidienne de x^{13} par 26.
1)montrer que g est injective
2)montrer que g est bijective et determiner g^{-1}

ce que j ai fait
x^{13} \equiv x (13){ et x^2\equiv  x ( 2) (d apres Fermat.
donc x^{13} \equiv x (13){ et x^{13}\equiv  x ( 2) .
et puisque 2\wedge 13=1 \implies x^{13} \equiv x (26)
soient x ; y de E  f(x)=f(y)  \implies x^{13} \equiv y ^{13} (26) donc x\equiv y (26) donc \exists k \in \Z\quad x-y=26k puisque x y dans E on motre facilement que k=0 et par suite  x=y
2) soit y \in E montrons qu il existe x dansE tel que f(x)=y.
f(x)=y donc x^{13}\equiv y (26) or x^{13}\equiv x (26) donc x\equiv y (26) on demontre que y=x cad que g^{-1} = id_E  
je sens une erreur dans mon raisonnement puisque la bijection reciproque de id_E  est lui meme et merci

Posté par
lakere : Fermat arithmetique 21-03-22 à 15:22

Bonjour,

Je ne crois pas que tu te sois trompé mais ton exercice est bizarre :

  Il code x par ... x autrement dit l'application de départ est l'identité ce qui n'est pas bien normal.

Posté par
aya4545re : Fermat arithmetique 21-03-22 à 15:52

merci  lake
effectivement g est bien l identité de E
en effet  l image de x par g c est le reste modulo 26 de x^{13}  or x^{13} \equiv x (26) donc l image de x est lui meme et par conséquent  g=id_E donc g^{-1}=g=id_E

Posté par
lakere : Fermat arithmetique 21-03-22 à 16:16

Mais tout ceci sent l'énoncé erroné ...

Posté par
carpediemre : Fermat arithmetique 21-03-22 à 18:04

salut

lake : peut-être pas mais une partie d'introduction pour la suite du pb ...


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