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Fibonacci

Posté par
matheux14 02-08-25 à 00:13

Salut,

Calculer : \mathcal{S} = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \arctan\left( \dfrac{1}{f_{3n-1}} \right)

Où (f_n)_n est la suite de Fibonacci.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fibonacci 02-08-25 à 00:21

n\in\mathbb Z ?!

Posté par
matheux14re : Fibonacci 02-08-25 à 00:24

Oui

Posté par
jarod128re : Fibonacci 05-08-25 à 20:43

Bonjour, comment est définie la suite de Fibonacci pour n négatif?

Posté par
matheux14re : Fibonacci 05-08-25 à 21:08

Salut jarod128, en remontant la récurrence f_0 = 0, \, f_1 = 1, \, f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_n, pour tout n \in \mathbb{Z}, on a f_{-n} = (-1)^{n + 1} f_n.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fibonacci 06-08-25 à 01:26

\ast\underline{Convergence}:

Par définition, la convergence d'une série numériqu \Large\boxed{\sum_{n\in\mathbb{Z}}u_n}\right)} est équivalente à celle des deux séries,

\Large\boxed{\sum_{n\in\mathbb{N}}u_n} et \Large\boxed{\sum_{n\in\mathbb{N}}u_{-n}} et en cas de convergence on a, \Large\boxed{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}u_n=u_0+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(u_n+u_{-n}\right)}.

Avec \Large\boxed{u_n=\arctan\left( \dfrac{1}{f_{3n-1}} \right)} on vérifie assez facilement que \Large\boxed{u_{-n}=(-1)^n\arctan\left( \dfrac{1}{f_{3n+1}} \right)}

et que les deux séries \Large\boxed{\sum_{n\in\mathbb{N}}u_n} et \Large\boxed{\sum_{n\in\mathbb{N}}u_{-n}} sont (absolument) convergentes.

Posté par
matheux14re : Fibonacci 06-08-25 à 13:07

elhor_abdelali

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fibonacci 07-08-25 à 23:52

matheux14 \to quel est l'origine de cet exercice ?

Posté par
matheux14re : Fibonacci 08-08-25 à 07:23

Bonjour elhor_abdelali, cet exercice m'a été proposé par un ami (qui ne semble pas avoir la source de l'exo lui également, mais m'a fait savoir que c'est bien l'énoncé exact de lexo.).

Posté par
jandri Correcteurre : Fibonacci 09-08-25 à 22:30

Bonjour,

c'est le problème 12543 de l' American Mathematical Monthly
Volume 132, 2025 - Issue 6.

Le problème est paru en juin, sa solution paraitra plus tard.

Il y a une solution simple avec un télescopage astucieux.

Posté par
matheux14re : Fibonacci 23-08-25 à 03:22

Effectivement jandri


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