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fin exo fonction

Posté par Djeffrey (invité) 19-03-05 à 15:43

Voila j'ai l'exercice suivant a faire, je l'ai deja bien avancé mais pas terminé, quelqu'un peut-il m'y aider?

$\textrm On definit la fonction f telle que : f(x)=e^{\frac{-1}{x^2}} si x>0 et f(x)=0 si x \le 0. f est donc de classe C^{\infty} sur \mathbb{R}^{+*}.$

$\textrm 1) Montrer que pour tout n entier naturel, il existe un polynome P_n de \mathbb{R}[X] tel que pour tout x>0 : f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}\times e^{\frac{-1}{x^2}}.$

$\textrm 2) Determiner \lim_{x\to 0} f'(x) et deduire que f est de classe C^1 sur \mathbb{R} tout entier, puis que f est de classe C^\infty {_}sur \mathbb{R} tout entier.$

Pour le 1) je l'ai montré sans souci pâr recurence ca se fait tres bien, pour la suite j'ai besoin d'un coup de main, merci...

Posté par Djeffrey (invité)re : fin exo fonction 19-03-05 à 19:14

je commence acroire que je suis detesté on ne repond jamais a mes posts ces derniers temps lol. Bon pour ceux que ca interesserait malgré tout je sais bien que la limite de f' en 0+ est 0 (tout comme en 0- d'ailleurs) mais je n'arrive pas a le justifier.
sinon j'en deduis evidemment que f' est continue sur R tout entier et donc que f est de classe C¹ sur R. Je pense qu'ensuite pour la montrer de classe C infinie il doit falloir faire une sorte de recurrence je pense.

Posté par Djeffrey (invité)re : fin exo fonction 19-03-05 à 22:45

s'il vous plait !!!!!!!!!!!!!!

Posté par Emma (invité)re : fin exo fonction 20-03-05 à 01:30

Salut Djeffrey

Pour la limite de f' en $\rm O^+$ , pourquoi ne pas utiliser le fait que $\rm \large \lim_{y\to -\infty} [y . e^y] = 0$ ?

Je m'explique :
Pour tout réel $\rm \large x$ positif, $\rm \large f'(x) = \frac{2 . e^{\frac{-1}{x^2}}}{x^3}$

donc $\rm \large f'(x) = \frac{2}{x} . \frac{e^{\frac{-1}{x^2}}}{x^2}$

soit encore $\rm \large f'(x) = \frac{-2}{x} . [ \frac{-1}{x^2} . e^{\frac{-1}{x^2}} ]$

________________

Posons $\rm \large y = \frac{-1}{x^2}$ :
Si $\rm \large x \to 0^+$ , alors $\rm \large y \to -\infty$ .

Donc $\rm \large \lim_{x\to 0^+} [\frac{-1}{x^2} . e^{\frac{-1}{x^2}}] = 0$

Or $\rm \large \lim_{x\to 0^+} [\frac{-2}{x}] = 0$

D'où $\rm \large \lim_{x\to 0^+} [ \frac{-2}{x} . [ \frac{-1}{x^2} . e^{\frac{-1}{x^2}} ] ] = 0$

C'est-à-dire $\Large \array {|c150| $ \hline \vspace{5} \\ \lim_{x\to 0^+} [f'(x)] = 0 \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline$

________________

@+
Emma

Posté par Djeffrey (invité)re : fin exo fonction 20-03-05 à 13:17

Bonjour emma et merci de ton aide
il y a quelque chose qui me gene dans ce que tu as ecris, en fait tu as dis que la limite lorsque x tend vers 0+ de -2/x était égale a 0 mais c'est égal a - l'infini ce qui ne me permet pas de conclure, non ?

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