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fof(x) = 6x - f(x)

Posté par
Sylvieg Moderateur
25-08-21 à 18:25

Bonjour,
Juste avant la rentrée, une question dont je n'ai pas la réponse.
Inspirée de déterminer une fonction tel que fof(x)=6x-f(x).

Trouver toutes les fonctions f de vers telles que
pour tout x de \; fof(x) = 6x-f(x) .

Posté par
verdurin
re : fof(x) = 6x - f(x) 27-08-21 à 18:07

Bonsoir,
il y a une infinité non dénombrable de fonctions de ce type :
on choisi un nombre a et f(a) et, sauf si on a pris a=0 et f(a)=0, on obtient une suite dénombrable de valeurs de f en utilisant la méthode du premier message mis en lien.
On recommence avec une paire de valeurs qui ne sont pas dans la liste obtenue, etc.

Si on pose que f est dérivable on trouve les deux fonctions « évidentes » :

x\mapsto 2x\text{ et } x\mapsto -3x

Je suis certain que l'on peux obtenir que ces deux fonctions sont les seules solutions avec des restrictions moins fortes.

Posté par
verdurin
re : fof(x) = 6x - f(x) 27-08-21 à 18:09

Citation :
que ces deux fonctions soient les seules solutions

Posté par
verdurin
re : fof(x) = 6x - f(x) 29-08-21 à 17:02

Quelques remarques en plus.

La fonction f est injective.
Si f(a)=f(b)=y alors f(y)=fof(a)=6a-y et f(y)=fof(b)=6b-y d'où a=b.

Je ne crois pas qu'elle soit forcément surjective.

Si on la suppose surjective, et donc bijective on obtient à partir d'un couple ( a ; f(a) ) la liste des fn(a) pour tout entier relatif
\forall n \in\Z\quad f^n(a)=\lambda(-3)^n+\mu\,2^n avec \lambda+\mu=a \text{ et } -3\lambda+2\mu=f(a).


On suppose maintenant f bijective.

Comme il est clair que \lim_{n\to-\infty}\lambda(-3)^n+\mu\,2^n=0 on a une suite qui tend vers 0 et l'image par f de cette suite tend vers 0.

Si la fonction f est continue en zéro alors f(0)=0.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : fof(x) = 6x - f(x) 29-08-21 à 19:03

Intéressant l'injectivité
Et rechercher les f bijectives peut peut-être donner quelque chose.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : fof(x) = 6x - f(x) 30-08-21 à 08:52

Un exemple de fonction f :
f(x) = 2x si x rationnel.
f(x) = -3x si x non rationnel.

Ou l'inverse.

Posté par
verdurin
re : fof(x) = 6x - f(x) 31-08-21 à 18:54

De fait il y en a beaucoup de ce type ( plus que de familles libres sur \R considéré comme espace vectoriel sur \Q ).

Je crois que l'on peut arriver à un résultat plus restreint en considérant que f est continue.
Le point clef étant que si f(x)=x alors x=0.

Posté par
verdurin
re : fof(x) = 6x - f(x) 01-09-21 à 19:11

Si f est continue et surjective les fonctions solutions sont
x\mapsto 2x \text{ et }x\mapsto -3x.

On a alors f(0)=0 fof(x) = 6x - f(x)

On montre d'abord que :


f(\R^{*+})\subset\R^{*+}\Rightarrow \forall x>0\ f(x)=2x
c'est le fil de départ.

Puis de la même façon que :

f(\R^{*-})\subset\R^{*-}\Rightarrow \forall x<0\ f(x)=2x

En remontant la suite des antécédents ( on utilise ici f bijective) on montre de la même façon que :

f(\R^{*+})\subset\R^{*-}\Rightarrow \forall x>0\ f(x)=-3x
f(\R^{*-})\subset\R^{*+}\Rightarrow \forall x<0\ f(x)=-3x

Posté par
verdurin
re : fof(x) = 6x - f(x) 01-09-21 à 19:28

J'ai posté au lieu de faire un aperçu
Suite.

On suppose ensuite qu'il existe a>0 tel que f(a)>a.
Comme f(x)=x\Rightarrow x=0 et que f est continue il en découle que l'on a \forall x>0\ f(x)>x>0 car f(x)=x entraîne x=0.
Autrement dit la courbe de f ne peut pas couper la droite y=x ailleurs qu'en 0.
On a donc \forall x\ge0\ f(x)=2x

Comme f est injective on a alors x<0\Rightarrow f(x)<0.
Et  \forall x\le0\ f(x)=2x.

Il faut que je parte, mais la suite est presque évidente.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : fof(x) = 6x - f(x) 01-09-21 à 22:19

J'essaye de poursuivre :
S'il n'existe pas a > 0 tel que f(a) > a
Pour tout a > 0 on a f(a) < a.
(On ne peut pas avoir f(a) = a car c'est réservé à 0)
Si f(a) > 0 alors fof(a) < f(a).
Ce qui donne 6a - f(a) < f(a). Ou encore f(a) > 3a > a. Contradiction.
Donc f(a) 0.

J'aurais préféré trouver f(a) < 0, mais je fatigue un peu.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : fof(x) = 6x - f(x) 02-09-21 à 09:07

Je reprends le cas si pour tout x > 0 on a f(x) < x.
Soit a > 0.

Si f(a) > 0 alors fof(a) < f(a).
Ce qui donne 6a - f(a) < f(a). Ou encore f(a) > 3a > a. Contradiction.

Si f(a) = 0 alors fof(a) =6a.
Soit b tel que f(b) = a (on utilise f surjective).
fof(b) =6b -f(b) donne f(a) = 6b - a ; donc b = a/6.
D'où b > 0 ; donc f(b) < b qui donne a < a/6. Contradiction.

Conclusion : si a > 0 alors f(a) < 0.

Il y a peut-être plus "presque évident"

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : fof(x) = 6x - f(x) 02-09-21 à 09:59

En fait f(0) = 0 a été démontré dans le 3ème message :

Citation :
Si la fonction f est continue en zéro alors f(0)=0.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : fof(x) = 6x - f(x) 02-09-21 à 10:08

Et rappelé hier à 19h11

Posté par
verdurin
re : fof(x) = 6x - f(x) 02-09-21 à 20:48

C'est ça
J'essaye de tout écrire, mais je suis paresseux et j'ai rencontré des problèmes que je ne soupçonnais pas.
Avec un peu de chance je poste un .pdf demain.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : fof(x) = 6x - f(x) 02-09-21 à 23:24

Je ne vais pas être disponible demain, ni beaucoup ce week-end.
Donc, prends ton temps

Posté par
jandri Correcteur
re : fof(x) = 6x - f(x) 07-09-21 à 16:57

Bonjour,

voici une démonstration quand on suppose f continue.

Comme l'a fait remarquer verdurin, f est injective. Or une fonction continue et injective est strictement monotone.

Premier cas : f est strictement croissante.
Pour tout u_0\in\R la suite définie par u_0 et u_{n+1}=f(u_n) est monotone.
De plus elle vérifie la récurrence u_{n+2}+u_{n+1}-6u_n=0 d'où u_n=a(-3)^n+b2^n.
Si a\neq0 alors u_n\sim a(-3)^n n'est pas monotone, contradiction. On a donc a=0 d'où u_n=b2^n d'où f(u_0)=u_1=2b=2u_0, donc pour tout x réel on a f(x)=2x.

Deuxième cas : f est strictement décroissante. Comme elle ne peut pas avoir une limite finie en \pm\infty c'est une bijection de \R dans \R et f^{-1} est aussi strictement décroissante.
Pour tout v_0\in\R la suite définie par v_0 et v_{n+1}=f^{-1}(v_n) n'est pas monotone (sauf si f(v_0)=v_0 qui entraine v_0=0).
De plus elle vérifie la récurrence v_{n+2}=\dfrac16(v_{n+1}+v_n) d'où v_n=\dfrac a{(-3)^n}+\dfrac b{2^n}.
Si b\neq0 alors v_n\sim \dfrac b{2^n} est strictement monotone, contradiction. On a donc b=0 d'où v_n=\dfrac a{(-3)^n} d'où f^{-1}(v_0)=v_1=-\dfrac a3=-\dfrac {v_0}3, donc pour tout x\neq0 on a f^{-1}(x)=-\dfrac x3, d'où enfin f(x)=-3x pour tout x réel.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : fof(x) = 6x - f(x) 10-09-21 à 08:56

Bonjour jandri,
Désolée de répondre aussi tardivement
Mais j'étais en déplacement.
Ta réponse correspond très bien à ce que je recherchais
Merci !

Et merci aussi à verdurin qui avait bien déblayé le terrain

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : fof(x) = 6x - f(x) 11-09-21 à 08:40

Bonjour,
La démonstration de " une fonction continue et injective est strictement monotone " n'est pas immédiate.
En voici une, sous forme d'exercice, que je trouve intéressante : Continuité et injectivité

Pour " elle ne peut pas avoir une limite finie en \pm\infty ", c'est plus facile :
Pour tout x réel on a \; fof(x) + f(x) = 6x .
Si la limite de f en \pm\infty est un réel \; L \; \; alors \; la limite de \; fof(x) + f(x) \; est le réel \; fof(L) + f(L) .
Mais la limite de \; 6x \; n'est pas un réel.

Posté par
verdurin
re : fof(x) = 6x - f(x) 11-09-21 à 19:25

Bonsoir,
je répond beaucoup trop tard, et je trouve que la démonstration de jandri est meilleure que la mienne.

Je joins quand même ce que j'ai écrit.

En fait j'ai déliré sur les valeurs possibles pour f(a) et j'ai cru pouvoir montrer que f est bijective.

En tous cas, si elle ne l'est pas, il y a une fonction de Q dans Q qui vérifie les hypothèses et qui n'est pas bijective.

pdf
PDF - 195 Ko

Posté par
jandri Correcteur
re : fof(x) = 6x - f(x) 11-09-21 à 22:56

Bonsoir,

il existe des fonctions vérifiant f\circ f(x)=6x-f(x) qui ne sont pas bijectives.

Soit E_1=\{2^a(-3)^b|(a,b)\in\Z^2,a<0\}, E_2=\{2^a(-3)^b|(a,b)\in\Z^2,a\geq0\} et E_3=\R\setminus(E_1\cup E_2).

Pour x\in E_1 on pose f(x)=-3x (b augmente de 1)
et pour x\in E _2\cup E_3 on pose f(x)=2x (a augmente de 1 pour x\in E_2).

On vérifie aisément que pour 1\leq k\leq3 on a f(E_k)\subset E_k.
On en déduit que f vérifie f\circ f(x)=6x-f(x) pour tout x\in\R.

Mais les nombres de la forme (-3)^b avec b\in\Z n'ont pas d'antécédent par f qui n'est donc pas surjective.

Posté par
verdurin
re : fof(x) = 6x - f(x) 12-09-21 à 20:15

Simple et élégant.

Merci jandri.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : fof(x) = 6x - f(x) 14-09-21 à 14:26

Bonjour,
Pas si simple, en tous cas à trouver

Pour voir si j'ai bien compris, peut-on aussi définir f comme ci-dessous ?

Soit \; E_1=\{2^a(-3)^b|(a,b)\in\Z^2,a<0\} .
Pour \; x\in E_1 \; on pose \; f(x)=-3x .
Et pour \; x\notin E_1 \; on pose \; f(x)=2x .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : fof(x) = 6x - f(x) 14-09-21 à 18:06

@verdurin,
J'ai lu en détail ton pdf qui est intéressant.
Une petite remarque sur le début de l'annexe :
Le morceau de phrase « Sauf si f est la fonction nulle » me semble inutile.
La fonction nulle sur ne vérifie pas la propriété notée (*).
Il est peut-être possible de rectifier le pdf, si ça te semble pertinent.

Encore merci à tous les deux de vous être intéressés à ma question

Posté par
jandri Correcteur
re : fof(x) = 6x - f(x) 14-09-21 à 18:59

@Sylvieg

Tu as raison, on n'a pas besoin de distinguer E_2 et E_3. Je l'ai fait parce que j'ai d'abord construit f sur E_1\cup E_2. Sur E_3 on peut poser f(x)=2x ou bien f(x)=-3x.

Posté par
verdurin
re : fof(x) = 6x - f(x) 15-09-21 à 18:26

Salut Sylvieg.
Il y a en effet des erreurs dans mon pdf.
J'ai commencé à le corriger.

En fait je prend depuis 10 jours un médicament contre le cholestérol qui m'embrouille la tête.

Ma médecin m'a dit que je pouvais arrêter, je crois que je dirais moins de bêtises.

Je pars pour quelques temps et je vais penser à ce problème, en particulier en intégrant ce qu'a dit jandri.

Si j'en ai le courage je donnerais une meilleure version.

Posté par
verdurin
re : fof(x) = 6x - f(x) 15-09-21 à 21:13

Un résultat à démontrer :
si f est continue alors f est bijective.

C'est assez facile.



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