Bonjour,
Très bien cette extrapolation !
Et ensuite on remplacera ln(x) par e^x ?
Je ne réponds pas pour le moment ; mais réagirait si rien de constructif n'apparaît dans un laps de temps raisonnable

Bonsoir,
Si f est une fonction qui vérifie fof(x)=ln(x) pour tout x > 0 alors f prend des valeurs négatives.
Par exemple, avec a = f(1/2), on a soit a < 0, soit f(a) = ln(1/2) < 0.

J'ai donc cherché une fonction f qui vérifie fof(x)=ln(x) quand x > 0 et f(x) > 0.
Un départ :

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f(x) = ln(x+(1/2)) sur ]0 ; 1/2]
f(x) = x - 1/2 sur ]1/2 ; 1]
f(x) = 1/2 + ln(x) = ln(xe) sur ]1 ; e]
f(x) = x/e sur ]e ; e]
f(x) = (e)ln(x) sur ]e ; e^e]

On a la continuité

Bonjour Sylvieg Si j'ai bien compris, ta fonction ne marche pas pour 0,2 par exemple. Car f(0,2) =ln(0,7) qui est négatif et qui n'est pas dans ta définition de f.
J'ai un exemple simple de f qui donne fof=ln pour tout x>0 et un deuxième exemple légèrement plus compliqué.

J'ai fini par comprendre que f pouvait être définie sur .

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f(x) = -x si x 0
f(x) = ln(-x) si x < 0

Bravo Sylvieg
Une autre solution :

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-x si x<=0
1/x si 0<x<1
-ln x si 1<=x

Pas mal
Une généralisation de la première solution :

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a > 0 et b > 0.
f(x) = - x^b/a si x 0.
f(x) = (1/b)ln(-ax) si x < 0.