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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Foncteur avec un objet fixé

Posté par
raisinsec
19-09-20 à 12:10

Bonjour,

J'ai une question concernant la théorie des catégories. Si on se donne une catégorie C, et cObC, je veux trouver un foncteur C(-,c) : CopEns

Pour ça je pensais le définir comme ceci :
C(-,c)Ob: ObCObEns
                       dCop(c,d)
et C(-,c)Mor:MorCopMorEns
                           fCop(a,b)f*:Cop(c,a)Cop(c,b)
                                                                     ggf

J'ai réussi a montrer toutes les propriétés d'un foncteur sauf celle ou FMor(gf)=FMor(g)FMor(f)
Au contraire je trouve que FMor(gf)=FMor(f)FMor(g)

Est ce que mon foncteur est mal défini ou je bloque juste sur cette dernière propriété ?

Posté par
GBZM
re : Foncteur avec un objet fixé 19-09-20 à 12:46

Bonjour,

J'ai l'impression que tu t'emmêles les pinceaux dans la contravariance.

Un foncteur F de Cop dans Ens, c'est un foncteur contravariant de C dans Ens, c.-à-d. qui vérifie F(f°g) = F(g)°F(f).

Posté par
raisinsec
re : Foncteur avec un objet fixé 19-09-20 à 13:00

Merci pour votre réponse,

Dans mon cours il n'est pas question de covariance ou contravariance. Je ne sais pas ce que c'est. L'exercice me demande de trouver un foncteur, et la seule definition que j'ai d'un foncteur demande F(f°g)=F(f)°F(g).

Posté par
GBZM
re : Foncteur avec un objet fixé 19-09-20 à 14:31

raisinsec @ 19-09-2020 à 13:00


Dans mon cours il n'est pas question de covariance ou contravariance.

C'est bien dommage !
Citation :
la seule definition que j'ai d'un foncteur demande F(f°g)=F(f)°F(g).

Oui, mais ici le foncteur part de Cop, et Cop, c'est juste la catégorie C dans laquelle on a retourné le sens des flèches (et donc la composition marche "à l'envers").

Posté par
raisinsec
re : Foncteur avec un objet fixé 19-09-20 à 14:44

Ah je vois, la composition que j'ai mis dans la définition de foncteur est ici inversée.
Si j'ai bien compris, on peut par exemple voir la composition dans C comme ° et celle dans Cop comme °inverse ou f°inverseg=g°f

Dans ce cas je pensais utiliser ° alors qu'en réalité c'était °inverse

Posté par
GBZM
re : Foncteur avec un objet fixé 19-09-20 à 17:32

Oui, en gros.
Le fond de histoire est très simple. Si on a une flèche f: a\to b dans C, elle donne une application \mathrm{Hom}_C(f,c) : \mathrm{Hom}_C(b,c)  \to \mathrm{Hom}_C(a,c)  qui est la composition à droite par f.



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