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Foncteur de G-action libre
Bonjour,
Dans mon cours on a défini le foncteur de G-action libre avec G un groupe et C une catégorie comme l'adjoint à gauche du foncteur oubli (ici le groupe G est indicé en bas à droite parce que je ne sais pas comment faire autrement, mais normalement il est indicé à gauche) où
est la catégorie des G-objets.
On a défini explicitement le foncteur dans le cas des ensembles, et on a eu un examen blanc ou on devait le définir sur des espaces topologiques. Je veux maintenant le définir sur un espace vectoriel, mais j'ai du mal à voir comment donner à VxG une structure d'espace vectoriel.
Quelqu'un peut m'aider ?
Bonjour,
Déjà, pour mettre un index à gauche : {}_GC : .
Ensuite, pourquoi voudrais-tu que l'ensemble sous-jacent à (je note
l'adjoint à gauche de
) soit
?
Suggestion : voir plutôt l'espace vectoriel sous-jacent à comme le produit tensoriel d'un espace vectoriel lié à
avec
.
D'accord merci.
Par analogie avec le cas ensembliste est celui des espaces topologiques, ou on a pris GxX.
J'ai pas vu le produit tensoriel. Quand tu parles d'un espace vectoriel lié à G tu veux dire que je peux trouver un espace vectoriel W à partir de G tq me donnera mon espace vectoriel ?
Exactement.
Je trouve un peu bizarre qu'on te fasse faire ce genre d'exercice si tu n'as pas encore vu ce qu'est le produit tensoriel d'espaces vectoriels.
J'ai pensé a prendre naïvement une multiplication comme , et peut être restreindre à Z(G) pour avoir un groupe abélien, mais tu veux le faire part un action ?
On me demande rien, mais j'ai un examen dans peu de temps et comme on a fait le cas ensembliste, et celui des espaces topologiques, je m'intéresse d'un peu plus près à celui des espaces vectoriels. Je pensais pas qu'il y aurait besoin d'autre chose que ce que je sais par être honnête.
La définition du produit tensoriel me fait penser à un push-out mais sans plus.
Le produit tensoriel n'est pas un push-out dans la catégorie des espaces vectoriels sur un corps fixé.
J'ai l'impression que tu n'as pas vraiment à ta disposition le matériel nécessaire pour bien répondre à la question que tu te poses. D'un autre côté, c'est une question naturelle dans le contexte de ton cours. Le contenu de ce cours me laisse un peu perplexe.
Par exemple, sais-tu ce qu'est l'algèbre de groupe (où
est le corps des scalaires).
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