f(x)=x+racine(|4x2-1|)

quand tu as une valeur absolue, il faut toujours travailler sur les deux
intervalles sur lesquels l'exression changede signe:  |a|=-a
si a<0  et |a|=a si a>0
(tu vois ce que je ve dire?)

ici:
4x2-1 <=0
4x2 <= 1
x2 <=1/4
-1/2<= x<= 1/2

donc pour recapituler, on a deux intervalles:
sur I1= [-1/2,1/2]  |4x2-1|=-(4x2-1)=1-4x2
et sur I2= ]-inf,-1/2[ U ]1/2,+inf[  |4x2-1|=4x2-1

C'est une première étape!!
on doit calculer la dérivée
sur I1:  OUBLIE PAS CE QU'EST I1, pour le signe de x !!!
f(x)=x+racine(1-4x2)
f'(x)=1+(-8x)/2*racine(1-4x2)=1-(4x)/racine(1-4x2)
cherchons f'>0  (on pourrait chercher f'<0 c'est pareil)
1>4x/rac(1-4x2)
si x negatif toujours vrai donc f'>0 sur [-1/2,0]
si x positif:
1>16x2/(1-4x2)
1-4x2>16x2
1>20x2
x2<1/20
0<x<1/racine(20)
donc f'>0 sur [0,1/racine(20)]
et f'<0 sur [1/rac(20),1/2]



sur I2:  oublies pas ce que vaut I2 c'est important pour le signe
de x......
f(x)=x+racine(4x2-1)
f'(x)=1+(8x)/2racine(4x2-1)=1+4x/racine(4x2-1)
il faut le signe de f'
cherchons f'<0
1+4x/racine(4x2-1)<0
1<-4x/rac(4x2-1)
si x est positif impossible  donc f croit sur [1/2,+inf[
si x est negatif:
1<16x2/(4x2-1)
4x2-1<16x2
12x2>-1 toujours vrai donc f'<0 sur ]-inf,-1/2[


RECAPITULE:
f decroit sur ]-inf,-1/2]
f croit sur [-1/2,1/rac(20)]
f decroit sur [1/rac(20),1/2]
f croit sur [1/2,+inf]

ta juste a calculer les valeurs aux point des bornes et c'est bon!!
avec lim (+inf)=lim(-inf)=+inf

C'ETAIT CHAUD!
A+
guillaume