Pour déterminer la limite de f en + :
on utilise f(x) x

lim x = +
(quand x + )

Donc :
lim f(x) = +
(quand x + )



Pour déterminer la limite de f en 0 :
On sait que :
x f(x) x² + 2x/(x+1)

Je suppose qu'il manque des parenthèses ?!?

lim x = 0
(quand x 0)

lim (2x/(x+1)) = 0
(quand x 0)


A l'aide du thèorème des gendarmes, on en déduit que :
lim f(x) = 0
(quand x 0)


Voilà déjà pour les premières limites, bon courage ...

Pour déterminer la limite de [f(x) - x] en 0 :
On sait que :
x f(x) x² + 2x/(x+1)
Donc :
0 f(x) - x x² + 2x/(x+1) - x

c'est-à-dire après calculs :
0 f(x) x(x²+1)/(x+1)

et
lim x(x²+1)/(x+1) = 0
(quand x 0)

D'après le théorème des gendarmes, on peut conclure que :
lim [f(x) - x] = 0
(quand x 0)


Arf !! Je n'arrive pas à déterminer la limite de f(x)/x.
N'y aurait-il pas par hasard une erreur dans ton énoncé, est-ce que ca
ne serait pas plutôt
(x² + 2x)/(x + 1) ??