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fonction

Posté par Profil rachoune 02-11-23 à 19:59

Bonjour, je suis en terminale S et j'ai un DM à rendre, voici le sujet : on considère la fonction f définie sur l'intervalle -1 et 1 par :
f(x)=(1-x) multiplié par racine carre de 1-x^2.
1: calculer la dérivée de la fonction f sur l'intervalle -1 à 1
2 : Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle cité ci-dessus
3: Détermination l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0
J'ai besoin d'aide car je ne comprends rien à mon grand désespoir.
Quelqu'un veut bien m'expliquer svp?
Dans l'attente de votre retour.
A bientôt



Posté par
Pirhore : fonction 02-11-23 à 20:04

Bonjour,

Citation :
J'ai besoin d'aide car je ne comprends rien à mon grand désespoir.

je crois que tu exagères un peu, non!

où bloques-tu?

1) il suffit de calculer la dérivée

Posté par
hdcire : fonction 02-11-23 à 20:04

Bonjour,

La terminale S n'existe plus en France, je suppose que tu es étranger ?

Les programmes étant sensiblement les mêmes, tu as dû voir la notion de dérivation.

La fonction est
f : x\mapsto (1-x)\sqrt{1-x^2}

Comment dérive-t-on une telle fonction ? Qu'as-tu vu à ce sujet en 1ère ? Et si le prof te donne ce DM, quel est le chapitre actuel, ne parle-t-il pas de dérivation ?

Second point : on te demande d'étudier les variations d'une fonction. Tu as vu en 1ère comment utiliser la dérivée pour étudier les variations : t'en souviens-tu ?

Troisième point : quel est le lien entre le nombre dérivée et l'équation d'une tangente ? Là aussi, c'est un point que tu as vu en 1ère, de quoi te souviens-tu à ce sujet ?

Posté par
carpediemre : fonction 02-11-23 à 20:05

salut

il serait tout de même utile d'apprendre à utiliser les outils numériques et les outils du forum, ainsi que les touches de ton clavier pour écrire un peu plus proprement les choses

simplement ici f(x) = (1 - x) * (1 - x^2)  par exemple ou encore avec LaTeX f(x) = (1 - x) \sqrt {1 - x^2}

quant à l'intervalle c'est quoi ]-1, 1[, [-1, 1], [-1, 1[ ou ]-1, 1] ?

pour le calcul de la dérivée tu as des formules génériques dans tes cours de première et terminale ou encore ici : Formules - Formulaire : Dérivées de fonctions usuelles

Posté par
hdcire : fonction 02-11-23 à 20:08

Ah, ben, carpediem, on s'est à nouveau croisé...

Posté par Profil rachounere : fonction 03-11-23 à 12:38

Bonjour, je n'avais pas d'autres choix que de cocher la case terminale S mais je suis bien en spé maths. Je vous remets l'exercice ici au propre.

On considère la fonction f définie sur] -1;1[ par: f(x) = (1-x)√1-x²
1. Calculer la dérivée de la fonction f sur] -1;1[.
2 . Étudier les variations de la fonction f sur] -1;1[.
3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

J ai commencé par répondre à la question 1, à l'aide de u*v

J'ai trouvé f'(x) = -1*(√1-x²)+(1-x)*(-2x/2√1-x²)
J'ai simplifié : f'(x) = -√1-x²+(1-x)*(-2x)/2√1-x²

Je ne sais pas sûre que cela soit juste, de plus je suis bloquée là, je n arrive pas à avancer. Pouvez vous m'aider svp. Merci pour vos réponses.

Posté par
hdcire : fonction 03-11-23 à 12:51

Pour clarifier l'écriture, tu peux écrire :
f(x)=(1-x)\sqrt{1-x^2}
Puis sélectionner tout ça et cliquer sur le bouton "LTX" dans le bandeau en-dessous de la zone de saisie. Cela donne ceci à l'affichage (sans les espaces avant le crochet ]) :
[tex ]f(x)=(1-x)\sqrt{1-x^2}[/tex ]
Et quand tu cliques sur "aperçu" cela donne
f(x)=(1-x)\sqrt{1-x^2}

Pour en revenir à ce que tu as fait :
(*) inutile de faire apparaître les multiplications par 1 (en terminale spé, tu es censée maîtriser cela)
(*) Quand tu as 2 e facteur au numérateur ET au dénominateur, qu'est-ce qu'il faut faire... ?
(*) Quand on écrit quelque chose du genre +(-A), comment cela s'écrit-il plus simplement ?
(*) Quand tu as des sommes avec des fractions, une bonne idée est de mettre au même dénominateur, cela permet souvent de simplifier

Sinon ce que tu trouve pour f'(x) est correct. Question suivante : comment étudie-t-on les variations de la fonction avec sa dérivée ?

Posté par
carpediemre : fonction 03-11-23 à 12:56

ne pas oublier les () avec l'écriture en ligne et le symbole en écrivant (1 -x2)

il y a des fautes de signe s(développement de (-1) * ...

je te laisse poursuivre hdci

Posté par
carpediemre : fonction 03-11-23 à 12:58

ha non il il a la racine carrée !! (donc pas de faute de signe) mais c'est du à l'absence des parenthèses !!

Posté par
hdcire : fonction 03-11-23 à 13:01

C'est vrai, je n'avais pas souligné l'absence de parenthèses (ayant "lu implicitement"...).
Mais c'est un sujet très récurrent sur les forums, l'écriture sans parenthèses... carpediem a tout à fait raison de le souligner !

Posté par Profil rachounere : fonction 03-11-23 à 14:03

Merci, j ai donc fais ce que vous m'avez dit, j ai simplifié par 2 j'ai donc:

f(x)=-\sqrt{1-x^2}-(x(1-x))/\sqrt{1-x^2}

Cependant je suis bloquée là, je n arrive pas à les mettre au même dénominateur

Posté par
hdcire : fonction 03-11-23 à 14:08

Pour mettre une fraction, on écrit
\dfrac{A}{B}

Et avec la même technique (sélection, click sur "LTX"...) cela donne

\dfrac{A}{B}

Dans ce que tu obtiens, c'est

-\sqrt{1-x^2}-\dfrac{x(1-x)}{\sqrt{1-x^2}}

rachoune @ 03-11-2023 à 14:03


Cependant je suis bloquée là, je n arrive pas à les mettre au même dénominateur


Si tu as A+\dfrac{B}{C}, comment fais-tu pour mettre au même dénominateur et obtenir une unique fraction ?

Posté par Profil rachounere : fonction 03-11-23 à 14:15

D'accord merci.
Pour mettre au même dénominateur je multiplie C et A, puis j additionne A et B et je mets le tout sur C.
Mais je n arrive pas à multiplier les racines

Posté par
hdcire : fonction 03-11-23 à 15:23

Tu ne sais pas à quoi est égal \sqrt{2}\sqrt{2} ?

Plus généralement (c'est du programme de seconde !) : si a, b sont positifs :

(*) \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}

(*)\sqrt{A^2}=A

(*)\Big(\sqrt{a}\Big)^2=a

Ou encore, la définition : "la racine carrée de x>=0 est le nombre positif y tel que y^2=a"

Posté par
hdcire : fonction 03-11-23 à 15:25

rachoune @ 03-11-2023 à 14:15

D'accord merci.
Pour mettre au même dénominateur je multiplie C et A, puis j additionne A et B et je mets le tout sur C.
Mais je n arrive pas à multiplier les racines


Attention, ceci n'est pas compréhensible : tu multiplies C et A et tu en fais quoi ? Puis tu ajoutes A et B, mais alors C dans tout cela ?

Posté par Profil rachounere : fonction 03-11-23 à 15:49

Merci, j ai donc utilisé (\sqrt{a})^2

Je me retrouve avec \dfrac{-1-x^2-x(1-x)}{\sqrt{1-x^2}}

J'ai simplifié et j ai trouvé \dfrac{-1+x}{\sqrt{1-x^2}}

Est-ce bien ça ?

Posté par
hdcire : fonction 03-11-23 à 16:05

Il y a une erreur de signe.

Comment passes-tu de

-\sqrt{1-x^2}

à

\dfrac{-1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}

Le dénominateur est correct. Le numérateur est faux. Le signe MOINS ne s'applique pas sur le premier terme mais est en facteur.


(Exemple : tu as 10 euros, on retire une pièce de 2 et un billet de 5, est-ce qu'au final tu as 10-(2+5) ou bien 10-2+5 ??)

Posté par Profil rachounere : fonction 03-11-23 à 16:14

Ah oui j'ai oublié de changer le signe de l'autre terme
Du coup est ce que l'on trouve ça :
[tex]\dfrac{-1+x^2-x(1-x)}{\sqrt{1-x^2}}[/tex

Posté par Profil rachounere : fonction 03-11-23 à 16:14

Ah oui j'ai oublié de changer le signe de l'autre terme
Du coup est ce que l'on trouve ça :
\dfrac{-1+x^2-x(1-x}{\sqrt{1-x^2}}

Posté par Profil rachounere : fonction 03-11-23 à 16:15

Ah oui j'ai oublié de changer le signe de l'autre terme
Du coup est ce que l'on trouve ça :
\dfrac{-1+x^2-x(1-x)}{\sqrt{1-x^2}}

Excusez moi

Posté par
hdcire : fonction 03-11-23 à 16:39

OK, c'est bien la dérivée de la fonction.
Il n'y a plus qu'à développer le numérateur pour avoir un polynôme du second degré plus facile à manipuler ici (vu qu'il faut en étudier le signe).

Posté par
Pirhore : fonction 03-11-23 à 16:41

comme j'avais répondu à la même heure que hdci, je peux répondre

tu peux écrire le numérateur autrement

Posté par Profil rachounere : fonction 03-11-23 à 16:48

Je trouve \dfrac{2x^2-x-1}{\sqrt{1-x^2}}

Il faut maintenant que je calcul le delta et que je trouve les racines non?

D'ailleurs nous sommes d accord, ici il n'y a pas de valeur interdite car 1 ne fait pas parti de l'intervalle n'est ce pas?

Posté par
hdcire : fonction 03-11-23 à 16:53

rachoune @ 03-11-2023 à 16:48

D'ailleurs nous sommes d accord, ici il n'y a pas de valeur interdite car 1 ne fait pas parti de l'intervalle n'est ce pas?


Pour la dérivée, c'est exact puisque l'énoncé demande à la déterminer sur ]-1;1[ (à noter, il n'y a pas que 1 qui annule le dénominateur...). Cet intervalle est donc l'ensemble de définition de la dérivée (mais pas de la fonction, qui n'est pas dérivable en -1 ni en 1).

rachoune @ 03-11-2023 à 16:48

Je trouve \dfrac{2x^2-x-1}{\sqrt{1-x^2}}

Il faut maintenant que je calcul le delta et que je trouve les racines non?


Oui c'est une façon de faire. Il y en a d'autres (par exemple, trouver une racine "évidente"), mais si on ne voit pas le discriminant est la technique qui va marcher (sauf erreur de calcul, bien sûr...)

Au passage, oui, c'est bien le bon numérateur.

Pour l'étude du signe, il faut quand même préciser un truc pour le dénominateur : quel truc ?

Posté par
hdcire : fonction 03-11-23 à 16:54

Pirho @ 03-11-2023 à 16:41

comme j'avais répondu à la même heure que hdci, je peux répondre


Au moins, Pirho tu sembles avoir le réflexe de cliquer sur "aperçu" Je ne l'ai pas encore tout à fait et j'ai fait quelqus collisions sur d'autres sujets:D

Posté par Profil rachounere : fonction 03-11-23 à 16:57

J'ai donc calculé le delta, j ai trouvé 9. Ainsi que les 2 racines qui sont -0,5 et 1.

Est-ce bien ça ?

Pour le dénominateur il faut préciser que la racine carrée est toujours positive ?

Posté par
hdcire : fonction 03-11-23 à 17:11

rachoune @ 03-11-2023 à 16:57


Pour le dénominateur il faut préciser que la racine carrée est toujours positive ?


Oui c'est bien ce qu'il faut dire : on n'étudie le signe que du numérateur car le dénominateur est toujours positif.

rachoune @ 03-11-2023 à 16:57

J'ai donc calculé le delta, j ai trouvé 9. Ainsi que les 2 racines qui sont -0,5 et 1.

Est-ce bien ça ?


Tu as un moyen très simple de le vérifier : tu remplaces x par 1 et tu calcules, puis tu remplaces x par -0,5 et tu calcules. Si tu trouves 0 à chaque fois, c'est que c'est ça.

Ou tu peux écrire la factorisation 2(x+0,5)(x-1), tu développes et tu vérifies que cela donne bien le polynôme initial.

Posté par Profil rachounere : fonction 03-11-23 à 17:18

Merci beaucoup, je viens de remplacer x par les 2 racines que j ai trouvé et le résultat que je trouve est bien 0 à chaque fois!


Maintenant si je comprends bien il faut que je fasse le tableau des variations. Mais dans la lignes de x est ce que je peut mettre -1 ; -0,5 ; 1?

Alors que c'est l'intervalle ]-1;1[ ?

Posté par
hdcire : fonction 03-11-23 à 17:31

Ton tableau de signes / variations doit bien aller de -1 à +1 puisque la fonction f qui est définie sur [-1 ; 1].

Tu peux mettre une double barre verticale sur -1 et sur 1 dans la ligne "signe de la dérivée" puisque ces deux valeurs sont hors ensemble de définition de la dérivée (cela indique que la dérivée n'est pas définie en ces abscisses)

Posté par Profil rachounere : fonction 03-11-23 à 17:53

Merci beaucoup ! Je me remets dessus demain, j espère à demain bonne soirée !

Posté par
hdcire : fonction 03-11-23 à 17:56

Bon courage et bonne soirée !


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