Bonjour,

la dérivée de arcsin(x) est 1/V(1-x²).

Pourrais-tu préciser ta fonction car il manque une parenthèse ?
Est-ce :
a) g(x) = arcsin[2x (1-x²)]
b) g(x) = arcsin[2 (1-x²)]
c) g(x)= arcsin(2x)* (1-x²)
ou autre ...

@+

Si la fonction est  :
g(x) = arcsin(2x.V(1-x²))   avec V pour racine carrée.

g(-x) = arcsin(-2x.V(1-x²))
g(-x) = -arcsin(2x.V(1-x²))
g(-x) = -g(x)

g est impaire, le graphe reprsentant g(x) est symétrique par rapport
à l'origine du repère.

g(x) existe si -1 <= (2x.V(1-x²)) <= 1

Etude préalable de h(x) = (2x.V(1-x²)) pour pouvoir déterminer Dg.
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h(x) = (2x.V(1-x²))
h est impaire. Dh: x dans [-1 ; 1]

h'(x) = 2V(1-x²) - 2x²/racine(1-x²)
h'(x) = 2(1-2x²)/racine(1-x²)

h'(x) > 0 pour x dans [0 ; 1/V2[ -> h(x) croissante
h'(x) = 0 pour x = 1/V2
h'(x) < 0 pour x dans [1/V2 ; 1[ -> h(x) décroissante

Il y a un max de h(x) en x = 1/V2, ce max = h(1/V2) = 1
h(0) = 0

Et par avec h(x) impaire, on conclut que -1 <= h(x) <= 1 pour x dans
[-1 ; 1]
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On a donc Dg: x dans [-1 ; 1].
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Et comme g(x) est impaire, on peut limiter l'étude pours x dans
[0 ; 1].
(La partie pour x dans [-1 ; 0[ est trouvée par le fait que g(x) est
impaire).
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g(x) = arcsin(2x.V(1-x²))
g impaire
Dg: x dans [-1 ; 1].

g'(x) = [1/racine(1 - 4x²(1-x²))] * h'(x)

[1/racine(1 - 4x²(1-x²))] > 0 pour x dans [0 ; 1] sauf pour x = 1/V2 où il vaut
0.

Donc g'(x)  a le signe de h'(x) pour x dans [0 ; 1/V2[ * ]1/V2
; 1]

En x = 1/V2, g'(x) est de la forme 0/0, une indétermination qu'il
faut lever.

lim(x-> (1/V2)-) g'(x) = lim(x-> (1/V2)-) [2(1-2x²)/(racine(1-x²)*racine(1
- 4x²(1-x²)))]
= lim(x-> (1/V2)-) [2(1-2x²)/(racine((1-x²)-4x²(1-x²)²))]
Pas le courage de le faire, mais on trouve (je pense):
lim(x-> (1/V2)-) g'(x) = 2.V2
et ensuite:
lim(x-> (1/V2)-) g'(x) = -2.V2

On a donc:
g '(x) > 0 pour x dans [0 ; 1/V2[ -> g(x) croissante.

g '(x) < 0 pour x dans [1/V2 ; 1] -> g(x) décroissante.

Et il y a un point anguleux dans la courbe représentant g(x) pour x
= 1/V2
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Comme g est impaire, on a finalement:

g(x) est décroissante pour x dans [-1 ; -1/V2[
Point anguleux dans la courbe représentant g(x) pour x = -1/V2
g(x) est croissante pour x dans ]-1/V2 ; 1/V2[
Point anguleux dans la courbe représentant g(x) pour x = 1/V2
g(x) est décroissante pour x dans [-1/V2 ; 1[

On a encore:
g(x) = 0 pour x = -1; pour x = 0 et pour x = 1.
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Il ne reste plus qu'a démontrer que:
lim(x-> (1/V2)-) g'(x) = 2.V2
et ensuite:
lim(x-> (1/V2)-) g'(x) = -2.V2

Bon courage.  
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Je soupçonne après tout cela que la fonction était plutôt:
g(x) = arcsin(2x) .V(1-x²)  ????    
  

Ma question n'était pas si innocente que ça, J-P !

@+

ma fct était la suivante

2x (1-x²))

merci a vous deux de m'avoir aidé