1) f est continue sur [a,b]    f est continue
en tout point x de [a,b].
x dans [a,b]   >0,  
    >0,   y
[a,b], |x-y|< |f(x)-f(y)|<.
Or pour tous réels z et t on a ||z|-|t|| |z-t|.
En prenant z=f(x) et t=f(y) on a donc ||f(x)|-|f(y)||
|f(x)-f(y)|.
Et donc :
x dans [a,b]   >0,      >0,
   y [a,b], |x-y|<
||f(x)|-|f(y)|| |f(x)-f(y)|<.
Ce qui s'écrit plus simplement:
x dans [a,b]   >0,      >0,
   y [a,b], |x-y|<
||f(x)|-|f(y)|| <.
Phrase mathématique qui dit clairement que |f| est continue entout point
de [a,b] donc |f| est continue sur [a,b].

2. pour tout x dans [a,b], -|f(x)| f(x)|f(x)|
f et |f| étant continue sur [a,b] on peut "intégrer les inégalités":
- |f| f|f|.
Ce qui traduit exactement que : | (a,b) f(x) dx|
  (a,b)|f(x)|dx