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Fonction --> Aire d'un triangle
Enoncé : On considère un carré ABCD de côté 10 cm.
Sur le côté [AB], on place un point L.
On pose AL = x ( en cm ) et on place sur [DA] un point P tel que DP = x cm.
On construit alors le triangle LCP
Le but est de déterminer s'il existe un triangle LCP d'aire minimale et si oui lequel.
On appelle f la fonction qui à tout x de 0 à 10 associe l'aire du triangle LCP
1. a. Exprimer en fonction de x les longueurs des segments AL,BL,DP puis AP
Ma réponse :
AL = x
BL = 10-x
DP = x
AP = 10-x
b. Exprimer en fonction de x les aires des triangles ALP, LBC et CDP
Ma réponse :
A(ALP) = x(10-x)/2
A(LBC)=10(10-x)/é
A(CDP)=10x/2
c. En déduire que f(x) = 1/2 ( x-5)² + 75/2
2. a. Justifier que, pour tout x de 0 à 10, f(x) ≥ 37,5
b. Peut-on avoir f(x) ≥ 37,5
c. Existe-t-il un triangle d'aire minimale ?
Si oui, préciser les points L et P
concrètement, je sèche dès la réponse de la question 1.C merci pour votre aide apporter.
Bonjour, il suffit d'écrire que l'aire du triangle LCP est égale à l'aire du carré ABCD moins les aires des 3 triangles rectangles que l'on vient de te faire calculer.
A partir de f(x) = 1/2 ( x-5)² + 75/2 il est facile de montrer que f(x) ≥ 37,5 tu as essayé ?
Ensuite je suppose que c'est : "b. Peut-on avoir f(x) = 37,5 " ?
facile aussi.
En développant la question 1.b voici ce que j'ai :
Aire de ALP = AP * AL / 2 = (10 - x) * x /2 = (10x - x²) / 2
Aire de LBC = LB * BC / 2 = (10 - x) * 10 /2 = 50-5x
Aire le CDP = CD * DP / 2 = 10 * x /2 = 5x
Pour la question 1.c j'ai :
aire du carré ABCD - 3 aires des triangles calculées = aire du triangle LCP
f(x) = 10² - (10x - x²) / 2 - (50-5x) - 5x
f(x) = 100 - (10x -x²)/2 -50
f(x) = 50 - 5x + x²/2
f(x) = x² - 10x + 100
f(x) = (x-5)² - 25 + 100
f(x) = (x-5)² + 75
f(x) = 1/2 (x-5)² + 75/2
Est-ce juste ?
Pour l'exercice, je ne comprends pas la démarche pour vérifier que f(x) est supérieur ou égale à 37,5 .. et c'est bien supérieur ou égale l'énoncé.
Un carré est toujours positif ou nul et donc
1/2 (x-5)² est positif ou nul et
1/2 (x-5)² + 37,5 est forcément positif mais du coup ça justifie pas que pour tout x compris entre 0 et 10, f(x) est supérieur à 37,5
0 oui
je trouvais ça léger comme justification j'ai donc calculer l'axe de symétrie de ma parabole pour en arriver à un tableau de signe, je vous montre ça, merci de vos retours.
2. a. Justifier que, pour tout x de 0 à 10, f(x) ≥ 37,5
f(x) = 1/2 (x-5)² + 75/2 (forme canonique de l'énoncé )
f(x) = 1/2 (x²-10x+25)+37,5
f(x) = x²/2 - 5x + 12,5 + 37,5
f(x) = x²/2 - 5x + 50 (forme développée)
Calcul de l'axe de symétrie de la parabole ( fonction du second degré donc c'est une parabole ) :
x=-b/2a
x= (5)/(2)(0,5)
x=5/1
x=5
x=5, est donc l'équation de l'axe de symétrie et l'abscisse du sommet.
Le sommet de la parabole a pour coordonnées (x; y) = [(-b/2a), f(-b/2a)]. Ici, pour trouver “y” ce qui donne :
y = 5²/2 - 5*5 + 50
y = 25/2 - 25 + 50
y = 12,5 - 25 + 50
y = 37,5
Le sommet de la parabole a pour coordonnées (5; 37,5)
Sur la courbe, ce point sera au bas de la parabole, c'est ce qu'on appelle un minimum, car la parabole s'ouvre le haut. En effet, le coefficient de x2 (1/2) est positif.
| x | -∞ | 5 | ∞ |
| f | fleche vers le bas | 37,5 | fleche vers le haut |
Bonjour,
je trouvais ça léger comme justification
En quoi était-ce "léger" ?
Toi tu as fait du "lourd" (20 lignes contre 2 ou 3)
En effet j'ai sauté une question.
J'ai repris la justification courte pour le 2.a et ma justification longue pour la 2.b qui réponds davantage a la question, La 2.c découlait avec sens. Merci pour votre aide.
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