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Fonction Arctan(x)
Bonojour,
Soit f la fonction définie par f(x)=x² Arctan (1/x) et f(0)=0
Question préliminaire : En l'interprétant comme limite de taux d'accroissement prouver que lim - Arctan(u)/u = 1 en 0.
1)a. Étudier la parité de f et montrer que f est continue sur R
1)b. Déterminer les limite de f en +/- 00
1)c. Montrer, à l'aide du théorème des accroissements finis, que t/1+t² < Arctan(t) < t
1)d. Prouver que f' est positive sur R*+
1)e. f est elle dérivable en 0
Pour la question préliminaire j'ai un problème c'est la signe moins sans celui ci j'arrive a démontrer l'égalité mais avec un - devant ça change tout.
Voyez vous une solution ?
Pour 1)a. la fonction est impaire et pour la continuité elle n'est pas définie en 0 ,mais on me dit que f(0)=0 donc je ne comprend pas (c'est un prolongement par continuité ?)
Pour 1)b. Je dois certainement m'aider de la question préliminaire mais encore une fois je l'utilise sans le signe - donc ça dois être faux.
Avez vous une piste ?
Pour 1)c. j'ai réussi a faire cette question 
Pour 1)d. je trouve f'(x)= 2x.Arctan(1/x) - 1/(1+(1/x²)) mais comment conclure que c'est positif ?
Pour 1)e. Dire que f est continue sur R est -il suffisant pour dire de f' est dérivable en 0 (je ne pense pas)
Bonjour, pour la question préliminaire, tu as raison, c'est lim arctan(u)/u qui vaut 1, c'est une erreur
1a) pour montrer qu'elle est continue, il faut que tu montres que sa limite quand x tend vers 0 est bien égale à f(0) donc égale à 0
1b) oui, en utilisant la question préliminaire, les limites sont faciles à trouver.
1d) sers toi des inégalités de la question 1c pour coincer la dérivée entre deux quantités positives
1e) regarde si l'accroissement de f' tend vers quelque chose (et surtout regarde si la limite à gauche est égale à la limite à droite car sinon c'est qu'elle n'est pas dérivable en 0)
non, dire qu'elle est continue ne suffit pas à dire qu'elle est dérivable ! les fonctions qui ont des points anguleux par exemple donc avec des dérivées à droite qui ne sont pas égales aux dérivées à gauche ne sont pas dérivables mais sont tout de même continues.
effectivement le - semble superflu
pour le a)
f(x)=x²Arctan(1/x) si x différent de 0 et f(0)=0
tu dois donc montrer que f(x) tend vers 0 quand x tend vers 0
b) tu peux faire un développement limité de arc tan (t) au voisinage de 0 avec t=1/x
pour t>0
1/(1+t²)< (Arc tan t)/t<1
donc (Arc tan t)/t >1/(1+t²) et comme sur R*+ (Arc tan t)/t >0 ......
Merci pour vos réponses
Donc pour trouver la limite en 0 je peuc utilser la question préliminaire aussi ou ça ne marche pas ?
1)b. Je trouve lim en +00 = +00 et comme la fonction est impaire en -00 la limite vaut -00
Cela vous semble correcte?
Très bien
Pour la 1)d j'obtiens cet encadrement :
t^4/(2+t)(t²+1) < f'(t) < 2t^4 +t² /(t²+1) comme t>0 f'(t) est positive
Merci par contre je n'arrive pas a trouver que la limite de f(x) en 0 = 0
Je ne peux pas me servir de la question préliminaire en 0 ça marche que pour les limites en l'infini non ?
en 0, ça n'est pas vraiment indéterminé, 1/x tend vers +
(ou - à gauche)
donc arctan(1/x) tend vers 
/2 et x²arctan(1/x) tend vers 0
Voici la suite de mon exercice :
2)a. Justifier que f est une bijection de R sur R
2)b. f^(-1) est elle dérivable sur R
Pour 2)a. f continue et dérivable sur R lim f en +00 = +00 et en -00 = -00
Donc f est une bijection de R sur R
Pour 2)b.JE ne sais pas quoi faire
2a) pour qu'elle soit une bijection, il faut dire qu'elle est monotone (et tu l'as déjà démontré qu'elle était toujours croissante)
2b) la dérivée d'une fonction réciproque ? on démontre assez simplement que (f-1)' = 1/f°f-1
donc pour que la fonction réciproque soit dérivable, il faut que ni la dérivée de f ni f elle-même ne s'annule. Or on a vu qu'en 0, la dérivée était nulle. donc la fonction réciproque n'est pas dérivable en 0 (tangente verticale, dérivée infinie)
ah d'accord !
Et pour finir :
3)a. Montrer que pout tout entier n naturel > 1 il existe un unique réel positif an trl que f(an)=1/n
3)b. Utiliser f^(-1) pour prouver que la suite (an)n>1 converge vers 0
3)c. Calculer la limite de la suite (√n.an)
Je suis bloqué sur les 3 question de cette partie avez vous des pistes ?
il faut que tu prennes plus d'initiatives, tu te bloques un peu trop facilement :
3a) sers toi des questions d'avant, tu sais que c'est une bijection donc c'est évident
3b) f(an) = 1/n 
f-1°f(an) = f-1(1/n) an = f-1(1/n)
1/n tend vers 0 et f(0)=0 donc f-1(0) = 0 et donc an tend vers 0
3c) an = f-1(1/n)
au voisinage de 0, f(x) ~ x donc f-1(x) ~ x et donc f-1(1/n) ~ 1/n et √n.an ~ √n/n = 1/√n qui tend vers 0
le 3) avec les équivalents me parait bizarre...
on a bien Arc tan(1/an)=1/nan²
donc 1/an=tan(1/nan²)
quand n tend vers + infini 1/an tend vers + infini donc 1/nan² ne tend -il pas vers pi/2 ?
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