bonjour,
j'aimerai savoir comment faire pour montrer que:
quelque soit x positif,
(x^3)/3 - (x^5)/5 < arctanx < (x^3)/3
Bonjour !
Ta formule est fausse :
pour il y a égalité !
pour tu aurais
.
A mon avis, ce qu'on peut démontrer c'est :
.
Si c'est cet énoncé, il suffit d'étudier les fonctions
et
bonjour
considère p(x)=x-x^3/3-arctan(x) et q(x)=x-x^3/3+x^5/5-arctan(x)
étudies leurs variations pour en déduire leurs signes;
p'(x)=1-x²-1/(1+x²)=[(1-x²)(1+x²)-1]/(1+x²)=(1-x^4-1)/(1+x²)=-x^4/(1+x²) <=0 donc u
p est st décroissante
donc si x>=0 alors p(x)<=p(0) comme p(0)=0 donc quelque soit x>=0 p(x)<=0
comme p est impaire donc si x<=0 alors -x>=0 et donc p(-x)<=0 donc -p(x)<=0 donc p(x)>=0
autrement dit l'inégalité que tu veux démontrer n'est vraie que pour x>=0
donc quelque soit x>=0 on a: x-arctan(x)<=x^3/3
q'(x)=1-x²+x^4 -1/(1+x²)=-x^4/(1+x²)+x^4=x^4(1-1/(1+x²))=x^4(1+x²-1)/(1+x²)=x^6/(1+x²) >=0
donc q est st croissante
donc si x>=0 alors q(x)>=q(0)
comme q(0)=0
donc q(x)>=0
donc quelque soit x>=0 on a x^3/3-x^5/5<=x-arctan(x)
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