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Niveau Reprise d'études-Ter
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fonction arctan(x)

Posté par
ysf
05-11-17 à 08:28

bonjour,
j'aimerai savoir comment faire pour montrer que:
quelque soit x positif,
(x^3)/3  -  (x^5)/5  <  arctanx   <  (x^3)/3

Posté par
luzak
re : fonction arctan(x) 05-11-17 à 08:55

Bonjour !
Ta formule est fausse :
pour x=0 il y a égalité !
pour x=+\infty tu aurais +\infty<\dfrac{\pi}2
.
A mon avis, ce qu'on peut démontrer c'est :
\forall x\in\R_+,\;x-\dfrac{x^3}3\leqslant \arctan x\leqslant x-\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5.

Si c'est cet énoncé, il suffit d'étudier les fonctions
x\mapsto\arctan x-x+\dfrac{x^3}3 et x\mapsto\arctan x-x+\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^5}5

Posté par
toureissa
re : fonction arctan(x) 05-11-17 à 08:56

bonjour

considère p(x)=x-x^3/3-arctan(x) et q(x)=x-x^3/3+x^5/5-arctan(x)

étudies leurs variations pour en déduire leurs signes;

p'(x)=1-x²-1/(1+x²)=[(1-x²)(1+x²)-1]/(1+x²)=(1-x^4-1)/(1+x²)=-x^4/(1+x²) <=0 donc u
p est st décroissante

donc si x>=0 alors p(x)<=p(0)  comme p(0)=0 donc quelque soit x>=0 p(x)<=0

comme p est impaire donc si x<=0 alors -x>=0 et donc p(-x)<=0 donc -p(x)<=0 donc p(x)>=0

autrement dit l'inégalité que tu veux démontrer n'est vraie que pour x>=0


donc quelque soit x>=0 on a: x-arctan(x)<=x^3/3

q'(x)=1-x²+x^4  -1/(1+x²)=-x^4/(1+x²)+x^4=x^4(1-1/(1+x²))=x^4(1+x²-1)/(1+x²)=x^6/(1+x²) >=0

donc q est st croissante

donc si x>=0 alors q(x)>=q(0)
comme q(0)=0
donc q(x)>=0
donc quelque soit x>=0 on a x^3/3-x^5/5<=x-arctan(x)

Posté par
fm_31
re : fonction arctan(x) 05-11-17 à 08:57

Bonjour ,

as-tu pensé aux développements limités ?

Cordiaalement

Posté par
toureissa
re : fonction arctan(x) 05-11-17 à 08:59

Au milieu il doit avoir x-arctanx

Posté par
ysf
re : fonction arctan(x) 05-11-17 à 09:02

d'accord
je croix au milieu il doit avoir x-arctanx
merci infiniment

Posté par
luzak
re : fonction arctan(x) 05-11-17 à 12:41

fm_31 @ 05-11-2017 à 08:57

Bonjour ,
as-tu pensé aux développements limités ?
Cordiaalement

Surtout pas !
Les développements limités donnent des propriétés locales (au voisinage de...),  jamais des inégalités vérifiées sur un intervalle donné d'avance.



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