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Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:05

Mince je le suis trompé désolé donc xe^x+2x

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:11

Bien, vous avez une factorisation possible

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:12

C'est mieux de factoriser ?

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:13

x(e^x+2)

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:14

Oui, car vous pourrez alors déterminer sans problème le signe de g'(x)

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:15

Je dois étudier le signe de g' et les variations de g puis utiliser la règle du même coefficient directeur non ?

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:17

D'abord le signe de g'(x)
ensuite le tableau de variation

on verra ensuite

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:20

g' <0 sur ]-l'infinie;0] puis positif sur [0;+l'infinie[

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:22

Le signe ici dépend de x non ?

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:25

g n'est définie que sur  [0~;~+\infty[

Autant garder l'intervalle fermé en 0, car pour cette valeur la dérivée est nulle et il n'y ara pas de problème pour calculer g(0)

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:25

Donc g' toujours positive sur [0;+l'infinie[

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:27

Non puisque l'on travaille sur  \R+ et que  \text{e}^x +2>0 pour tout .

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:27

Oui donc la fonction est

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:30

hekla @ 25-01-2022 à 21:27

Non puisque l'on travaille sur  \R+ et que  \text{e}^x +2>0 pour tout .

Pour tout x appartenant à cet intervalle

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:31

hekla @ 25-01-2022 à 21:27

Oui donc la fonction est

Croissante

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:33

même strictement croissante

tableau de variation


ensuite encore un peu de TVI

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:34

J'ai donc fait le tableau de variation

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:36

Ce que l'on veut, c'est bien la valeur pour laquelle g(x)=0

donc TVI  pour l'unicité et la calculatrice pour la valeur approchée

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:36

La suite g est strictement croissante et continue sur [0;+l'infinie[
Donc après il faut utiliser le TVI pour prouver qu'il y n'y a qu'une seule solution g(a) =…

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:38

N'oubliez pas de préciser que 0 est bien dans l'ensemble image

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:39

Ah oui c'est vrai, et je dois prouver g(a)= à quoi ?

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:48

On veut résoudre g(x)=0

  mais comme on ne sait pas faire directement, on passe par l'étude de g le TVI vous montre qu'il n'y a qu'une solution notée \alpha

Avec la calculatrice ou Python,  vous donnez une valeur approchée de \alpha

  

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:54

Ah oui donc il n'y a qu'une seule solution sur [0;+l'infinie[
Alpha est égal à environ 0,74

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:57

\alpha \approx 0,739123

Fonction avec exponentielle et delta

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 21:58

Mais est-ce que cela répond bien à la question ?

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 22:10

Qu'est-ce qui vous gêne ?

Vous avez dit   que résoudre f'(x)=-1  revenait à résoudre g(x)=0

C'est bien ce que l'on a fait, On a trouvé une unique solution dont la valeur approximative est 0,74
par conséquent en traçant la tangente au point d'abscisse \alpha  à la courbe représentative de f
on a bien icelle parallèle à la droite d'équation y=-x

Sur le dessin en violet la courbe représentative de f,
en rouge la tangente à cette courbe en A et en noir la droite d'équation y=-x

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 22:15

Je vais mettre tout ça en forme demain, je vous tiendrais au courant si j'ai encore une question
Merci énormément de votre aide et surtout de votre temps bonne fin de soirée à vous

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 25-01-22 à 22:27

S'il y a des questions, il ne faut pas hésiter à les poser
De rien
bonne fin de soirée

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 26-01-22 à 21:10

Ce n'est pas plutôt ]f(0);f(1)[ ?

hekla @ 25-01-2022 à 19:32

Ce n'est pas ce que j'ai écrit

Il faut parcourir  \R #commentaire

La fonction admet un minimum en 1 qui vaut \text{e} ce qui permet de distinguer  3 cas :

Premier cas
Si m<\text{e} alors l'équation f(x)=m n'a pas de solution.

deuxième cas
Si m=\text{e}, alors l'équation f(x)=m admet une solution unique :\text{e}

troisième cas
Si m>\text{e}, on va donc appliquer le TVI  deux fois, la première fois sur l'intervalle ]0~;~1[ la seconde fois sur l'intervalle ]1~;~+\infty[ cas

premier intervalle

 f est une fonction dérivable, strictement décroissante sur ]0~;~1[ , \ m\in ]f(1)~; ~f(0)[ par conséquent
il existe une unique valeur x_1 \in]0~;~1[ telle que f(x_1)=m

second intervalle

 f est une fonction dérivable, strictement croissante sur ]1~;~+\infty[ , \ m\in ]f(1)~; ~+\infty[ par conséquent
il existe une unique valeur x_2 \in]1~;~+\infty[ telle que f(x_2)=m

Conclusion on a montré qu'il existait une unique valeur x_1 appartenant à ]0~;~1[ et une unique valeur x_2 appartenant à ]1~;~+\infty[ telle que f(x_1)=f(x_2)=m.  

Il en résulte que pour tout x\in]0~;~+\infty[ l'équation f(x)=m,\ m>\text{e} admet exactement 2 solutions distinctes.

Vous pouvez les appeler comme vous voulez à la condition que cela n'entraîne pas d'homonymies, or \alpha est déjà utilisé.

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 26-01-22 à 21:19

On va toujours du plus petit au plus grand

  on a  \lim_{x\to 0}f(x)=+\infty et f(1)=\text{e}

vous avez une fonction continue décroissante sur ]a~;~b[   l'image est donc ]f(b)~;~f(a)[

Posté par
Nonorigolo
re : Fonction avec exponentielle et delta 26-01-22 à 21:31

Ah oui je vois

Posté par
hekla
re : Fonction avec exponentielle et delta 26-01-22 à 21:38

Continue, c'est pour dire que l'image d'un intervalle est un intervalle.

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