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Fonction Beta/Gamma

Posté par
ErenJaeger 20-09-14 à 13:55

Bonjour à tous.

J'aimerai vous soumettre un exercice ou plutôt une sorte de démonstration et étant pas très doué en maths je souhaiterai votre aide.

Voici l'énoncé.

Démontrez que \beta ( m , n )  = \frac {\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(n+m)}


Je rappelle la fonction Gamma :
\Gamma(n) = \int_0^{+\infty} x^{n-1} e^{-x} dx

Et la fonction Beta :
\beta( m , n ) = \int_0^{+\infty} x^{n-1} ( 1 - x ) ^ { m-1 } dx



On nous donne l'astuce suivante : "Changement de variable z = x² dans (n) puis passer en polaire."

Première question dois-je utiliser un x pour (n) et un y pour (m) ?

Deuxième question j'ai donc tenté le changement de variable en question et j'obtiens ceci :

\Gamma(n) = 2 \int_0^{+\infty} \sqrt{z}^{n-2} e^{-\sqrt{z}}

Y'a-t-il une erreur ? Ca me semble étrange.

J'ai utilisé le fait que z = x²  donc   dz = 2xdx et que x = \sqrt{z} étant donné qu'on est dans + il n'y a pas de

Troisième question : Dois-je faire un changement de variable aussi pour (m) ?


Merci de m'avoir lu et veuillez excuser mon niveau très modeste.
Cordialement Vincent.

Posté par
Robotre : Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 14:26

ES-tu sûr de ta définition de \beta ? (Regarde les bornes).

Posté par
ErenJaegerre : Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 14:33

Effectivement j'ai fait une erreur je me suis emmêler les pinceaux avec le TEX.
   \beta( m , n ) = \int_0^{1} x^{n-1} ( 1 - x ) ^ { m-1 } dx  

Merci et désolé.

Posté par
Robotre : Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 14:49

m et n sont entiers (leurs noms semblent l'indiquer) ?

Posté par
ErenJaegerre : Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 14:58

Il ne la pas préciser mais normalement oui.

Posté par
Robotre : Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 15:11

Oh la la ! Il ne l'a pas précisé.

Pour des entiers, on peut procéder par récurrence en utilisant m\, \beta(m, n + 1) = n\,\beta(m + 1, n) qui se démontre par IPP.

Posté par
ErenJaegerre : Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 15:17

Je vois. Mais je pense que le calcul porte plus sur la fonction gamma que beta ? Etant donné qu'il veut faire des changements de variable dans (n) ?

Posté par
Robotre : Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 15:28

Je ne comprends pas l'indication. La démonstration de l'égalité (pour m et n pas forcément entiers) se fait d'habitude en écrivant le produit \Gamma(m)\,\Gamma(n) comme une intégrale double en x,y et en faisant un changement de variables dans cette intégrale double pour faire apparaître \beta(m,n)\,\Gamma(m+n).

Posté par
ErenJaegerre : Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 15:58

Quoi qu'il en soit, pouvez vous me dire si mon changement de variable est correct ? Si oui je pourrais continuer les calculs.

Posté par
Robotre : Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 16:26

Manque le dz, et le 2 ne va pas.
J'ai du mal à voir où ça mène. Bon courage !

Posté par
ErenJaegerre : Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 16:40

Ah oui j'ai raté le dz.

Je trouve le 2 avec dx = \frac {dz}{2x} non ? Je suis très mauvais en changement de variable je n'ai pas eu de cours sur la théorie.

Posté par
Robotre : Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 16:48

Et comment fait le 2 pour passer du dénominateur au numérateur ?

Posté par
ErenJaegerre : Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 16:51

hahahaha, c'est de l'ancienne magie voodoo effectivement erreur. Merci

Posté par
ErenJaegerre : Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 17:03

Bien , je cherche mais je ne trouve rien. Je posterai la correction Mardi ou Mercredi.
Merci de m'avoir aidé. Je vais chercher dans la direction \beta(m,n)\,\Gamma(m+n).

Posté par
Robotre : Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 17:15

On trouve facilement des choses sur la toile. Comme ici :

Posté par
ErenJaegerre : Fonction Beta/Gamma 20-09-14 à 17:20

Ah, je voulais essayer de trouver tout seul, mais merci ceci va me faciliter la tâche ...

Posté par
ErenJaegerre : Fonction Beta/Gamma 23-09-14 à 18:43

Bien j'ai la correction pour ceux que ca peut interesser.

je me suis simplement trompé dans le sens de changement de variable...

\Gamma(m) = \int_0^{\infty} z^{n+1} e^{-z} dz         (C.V z = x²) =>    \Gamma(m) = 2\int_0^{\infty} x^{2n-1} e^{-x²}dx

donc     \Gamma(m)\Gamma(n) = 4 \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} x^{2m-1}y^{2n-1}e^{-(x²+y²)}dydx

A partir de ce moment on passe en coordonnées polaire. Ce qui donne :
pour   x = rcos\Phi  y = rsin\Phi

\Gamma(m)\Gamma(n) = \int_{r=0}^{\infty} \int_{\Phi=0}^{\frac{\Pi}{2}}} r^{2m-1}r^{2n-1}cos^{2m-1}\Phi sin^{2n-1}\Phi e^{-r²} rdrd\Phi

Ensuite on sépare les deux intégrales en produit de deux :

\Gamma(m)\Gamma(n) = (2\int_{r=0}^{\infty} r^{(2m+n)-1} e^{-r²} dr)(2\int_{\Phi=0}^{\frac{\Pi}{2}}} cos^{2m-1}\Phi sin^{2n-1}\Phi d\Phi )

On remarque que la premiere intégrale est équivalente à \Gamma(m+n) et que la deuxième est égale à \beta(m,n)

( \beta(m,n) = 2\int_{\Phi=0}^{\frac{\Pi}{2}} sin^{2n-1}\Phi cos^{2n-1}\Phi d\Phi est une propriété de la fonction Beta. )

Donc \Gamma(m)\Gamma(n) = \Gamma(m+n) \beta(m,n)




En espérant être utile un jour.

Cordialement
Vincent.

Posté par
ErenJaegerre : Fonction Beta/Gamma 23-09-14 à 18:58

Quelques erreurs d'étourderie , on va mettre ca sur le dos du latex.

3ème ligne : \Gamma(m) = \int_0^{\infty} z^{n-1}e^{-z}

8ème ligne : \beta(m,n) = 2\int_{\Phi=0}^{\frac{\Pi}{2}} sin^{2m-1}\Phi cos^{2n-1}\Phi d\Phi

Posté par
Robotre : Fonction Beta/Gamma 23-09-14 à 21:30

Ca va mieux dans ce sens là, à condition d'admettre l'écriture de \beta comme intégrale portant sur des fonctions trigonométriques.

Posté par
ErenJaegerre : Fonction Beta/Gamma 23-09-14 à 21:43

Serait-ce faux ? ( avec des maths plus poussée ? ) Il me semble pourtant qu'il y a une démonstration .

Posté par
Robotre : Fonction Beta/Gamma 23-09-14 à 22:03

Non, ce n'est pas faux. On peut en voir une démonstration par exemple dans le document que j'ai mis en lien. Mais si on veut aller jusqu'au bout, ça demande un travail supplémentaire. Mais peut-être ce travail a été fait par ailleurs, dans ton cours ?


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