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Fonction bien définie

Posté par
Nyadis 11-08-21 à 13:46

Bonjour à tous

En cours mon prof m'a demandé de montrer que cette correspondance f n'est pas bien définie.
P1(R) →S1 définie par  f(x : y)=(\frac{|x|}{||(x,y)||},\frac{|y|}{||(x,y)||}).

Et pourtant moi je trouve qu'elle est bien définie !
Je pense d'ailleurs que cela aurait été mal défini si il y'avait pas les valeurs absolues sur x et y.  
Mais j'aimerais bien m'en convaincre.
Merci

Posté par
GBZMre : Fonction bien définie 11-08-21 à 14:54

Bonjour,

Je t'ai par deux fois donné des indications sur des questions que tu posais : ici Idéal premier et nilpotence et là Ensemble algèbrique. Une petite réaction de ta part aurait été appréciée ....

Posté par
Nyadisre : Fonction bien définie 11-08-21 à 15:05

*modération* >citation inutile supprimée*

Toutes mes excuses ! Je suis très satisfait de vos réactions à mes préoccupations ! J'ai avant ce post réagi à vos précédentes propositions. Merci

Posté par
GBZMre : Fonction bien définie 11-08-21 à 15:18

Merci pour tes réactions. On aime bien savoir si les aides fournies ont été ou non exploitées !

Le f est bien une application continue de P^1(\R) dans S^1. Ce n'est pas une section de la projection S^1\to P^1(\R).

Posté par
Nyadisre : Fonction bien définie 11-08-21 à 16:03

*modération* >citation inutile supprimée*

Quand vous dîtes ce n'est pas une section ....... C'est sensé l'apprendre quelques choses?

Posté par
Nyadisre : Fonction bien définie 11-08-21 à 16:54

*modération* >citation inutile supprimée*

En fait ce que je veux savoir c'est pourquoi évoquer le fait que "Ce n'est pas une section de la projection". ?

Posté par
GBZMre : Fonction bien définie 11-08-21 à 19:10

On a l projection S^1\to P^1(\R) qui envoie (x,y) sur (x:y).  Il me semble naturel de se demander si on a une section de cette projection. Je te propose comme exercice
1°) Trouver une section
2°) Montrer qu'elle n'est pas continue
3°) Montrer qu'il n'y a pas de section continue

Posté par
Nyadisre : Fonction bien définie 11-08-21 à 20:26

* Modération > Citation inutile effacée. *

Merci. S'il vous plaît pouvez vous me définir ce que c'est qu'une section ?

Posté par
GBZMre : Fonction bien définie 12-08-21 à 00:48

Ah, c'était ça ton problème ? Une section d'une surjection p : X\to Y est une application s : Y\to X telle que p\circ s= \mathrm{Id}_Y.

Posté par
Nyadisre : Fonction bien définie 12-08-21 à 07:50

* Modération > Citation inutile effacée. *

Une section peut donc être
s : P^{1}(R)\rightarrow S^{1} , (x;y) \rightarrow (\frac{|x|}{||(x,y)||}, \frac{|y|}{||(x,y)||}).

Puisqu'on a effectivement en composant ces applications s et p  une Id (P1(R)).
Et je pense que cette application est bien continue . Quand je regarde son relèvement que j'appelle r il est définie de \mathbb{R}^{2}-\{0\} \rightarrow \mathbb{S}^{1}, (x,y)\rightarrow (\frac{|x|}{||(x,y)||}, \frac{|y|}{||(x,y)||}).
C'est bien continue. Voilà

J'ai l'impression d'avoir tourné en rond. Je me demande si j'ai bien compris votre question !

Posté par
Nyadisre : Fonction bien définie 12-08-21 à 08:09

GBZM @ 11-08-2021 à 19:10

On a l projection S^1\to P^1(\R) qui envoie (x,y) sur (x:y).  Il me semble naturel de se demander si on a une section de cette projection. Je te propose comme exercice
1°) Trouver une section
2°) Montrer qu'elle n'est pas continue
3°) Montrer qu'il n'y a pas de section continue


Si en plus je considère mon application f de mon tout premier post, et que je restreint son ensemble d'arrivé à l'image de P1 par f, Alors j'obtiens une application bijective et continue d'un espace quasi-compact vers un espace séparé : Une proposition nous permet de dire que une telle application est un homeomorphisme.  Ce qui pourrait donner un sens à l'existence d'une section continue!

Posté par
GBZMre : Fonction bien définie 12-08-21 à 14:25

Nyadis @ 12-08-2021 à 07:50



Une section peut donc être
s : P^{1}(R)\rightarrow S^{1} , (x;y) \rightarrow (\frac{|x|}{||(x,y)||}, \frac{|y|}{||(x,y)||}).

Puisqu'on a effectivement en composant ces applications s et p  une Id (P1(R)).

Non, c'est faux. Je te laisse voir pourquoi.

Posté par
Nyadisre : Fonction bien définie 12-08-21 à 15:02

* Modération > Citation inutile effacée. *

Ceci
(\frac{|x|}{||(x,y)||}:\frac{|y|}{||(x,y)||}) et (x:y) sont bien deux éléments identique dans P1(R) ?

Posté par
Nyadisre : Fonction bien définie 12-08-21 à 15:02

Nyadis @ 12-08-2021 à 08:09

GBZM @ 11-08-2021 à 19:10

On a l projection S^1\to P^1(\R) qui envoie (x,y) sur (x:y).  Il me semble naturel de se demander si on a une section de cette projection. Je te propose comme exercice
1°) Trouver une section
2°) Montrer qu'elle n'est pas continue
3°) Montrer qu'il n'y a pas de section continue


Si en plus je considère mon application f de mon tout premier post, et que je restreint son ensemble d'arrivé à l'image de P1 par f, Alors j'obtiens une application bijective et continue d'un espace quasi-compact vers un espace séparé : Une proposition nous permet de dire que une telle application est un homeomorphisme.  Ce qui pourrait donner un sens à l'existence d'une section continue!


Que pensez vous de cette assertion ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Fonction bien définie 12-08-21 à 17:02

Bonjour,
@Nyadis,
Merci d'utiliser le bouton "RÉPONDRE" pour répondre et pas les guillemets qui citent le message ?
Tu alourdis inutilement les échanges qui peuvent être utiles à d'autres.
(modération)

Posté par
Nyadisre : Fonction bien définie 12-08-21 à 17:29

Bien noté !

Posté par
GBZMre : Fonction bien définie 12-08-21 à 21:46

Nyadis @ 12-08-2021 à 15:02


(\frac{|x|}{||(x,y)||}:\frac{|y|}{||(x,y)||}) et (x:y) sont bien deux éléments identique dans P1(R) ?

Faux. Prends (x:y)=(1:-1).

Posté par
Nyadisre : Fonction bien définie 12-08-21 à 23:27

* Modération > Citation inutile effacée *

Oh là où ai je mis la tête ! Merci


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